关于勾股定理的证法

篇一:《勾股定理的著名证法》

勾股定理的著名证法 课外阅读资料2014-2-28 勾股定理是一个基本几何定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想

解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之

一。……勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方

法最多的定理之一。 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代

（公元前11世纪）由商高发现，故又有称之为商高定理，

在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直

角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并

开方除之得邪至日”。

在陈子后一二百年，希腊

的著名数学家毕达哥拉斯发现

了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥

拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀

了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛

定理”． 三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了

详细注释，又给出了另外一个证明。

著名的网络科普作家塔米姆·安萨利（Tamim Ansary）

在其近著（10 Great Scientific Discoveries）中总结了对人类

社会发展有重大影响的、最伟大的十个科学发现。这之中，

第一个就为：毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem）

赵爽弦图 -----------------------------摘自百度百科（整理）

下面介绍三种著名的证法：

【一】《几何原本》中欧几里得的证明

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L.

∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠CAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔCAD， 12∵ ΔFAB的面积等于a， 2ΔCAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

2∴ 矩形ADLM的面积 =a.

同理可证，矩形MLEB的面积=b.

∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB

∴cab ，即abc 2222222

【二】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90

21ab. 2 毕达哥拉斯树 ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(ba1ab(ba)2c2. 2

222∴abc. ∴4【三】（1876年美国第20任总统James Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 2

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于

又∵ ∠DAE =∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于12c. 2“总统”证法-图 1(ab)2. 2

11122222∴(ab)2abc. ∴abc. 222

故事链接：

总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好

者？答案是否定的。事情的经过是这样的：

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年

人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲

尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精

会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲

尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小伽菲尔德

男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。

篇二:《勾股定理多种证法》

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

ab4

2

2

12

abc4

2

12

ab

222

， 整理得 abc.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1

形的面积等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

2

ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

ab

222∴ . ∴

ab 【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

ab2

4

1

abc

2

1

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1

三角形的面积等于2. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

2

ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

ab

∴

4

2

12

abbac

2

2

.

∴ abc.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角

1

22

形的面积等于2

ab

. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点

在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

1

E

它的面积等于2.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

1

c

2

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2

1

ab2

.

∴ 2

ab2

2

2

2

2

12

ab

12

c

2

.

∴ abc.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为

2

c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º.

又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

BA设多边形GHCBE的面积为S，则

ab

2

2

2

S2

2

2

12

ab,

c

2

S2

12

ab

,

∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】

【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c3

B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L.

∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

1

∵ ΔFAB的面积等于2， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =a.

同理可证，矩形MLEB的面积 =b.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ cab ，即 abc.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

2

即 ACADAB.

2

2

2{关于勾股定理的证法}.

2

2

2

2

a

2

2

2

B

2

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBDAB.

∴ AC

2

BC

2

ADDBABAB

222

，即 abc.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，

AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. F

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形， T

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

4

E

B

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c

2

S1S2S3S4S5

①

=

b

2

∵

S8S3S4

12

bbaaba

12

ab

，

S5S8S9，

∴

把②代入①，得

c

2

2

S3S4b

2

12

abS8

=

bS1S8

2

. ②

S1S2bS1S8S8S9

=

bS2S9

2

2

2

2

22

= ba.

∴ abc.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a.{关于勾股定理的证法}.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠

∴ ∠GHF = ∠DBC.

Q

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2.

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.

由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

5

篇三:《勾股定理17种证明方法》

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2b24abc24ab

22， 整理得 a2b2c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B

三点在一条直线上，B{关于勾股定理的证法}.

、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

2

ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

ab2

1

4abc2

222

2. ∴ abc.

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1ab

三角形的面积等于2. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.

2

ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

12

4abbac2

∴ 2.

∴ abc. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面

1ab2积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

222

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

1

ab2

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.

1

ab221ab1c2

22. ∴ 2

∴ abc.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

222

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

1

a2b2S2ab,

2 1

c2S2ab

2,

∴ abc.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条

直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， C∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

222

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点

L.

K

∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB

ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 2

∴ 矩形ADLM的面积 =a.

2{关于勾股定理的证法}.

同理可证，矩形MLEB的面积 =b.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222

∴ cab ，即 abc. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.