20160829s价格

乙方： （以下简称乙方） 身份证号： 住址： 联系电话：

为增强企业活力，开拓市场，搞活经营机制，甲方在 市设立 分公司（办事处），经甲、乙双方友好协商，将甲方设立的 分公司（办事处）委托乙方经营管理，现就相关事宜达成如下协议：

1、由乙方具体负责分公司（办事处）的设立，甲方协助并提供给乙方办理工商登记和资质备案需要的有关材料，乙方承担 分公司（办事处）成立所需的各项费用。乙方在经营活动中需要甲方协助的，甲方应积极予以协助。

2、乙方自主管理 分公司（办事处），经济独立，自负盈亏，互不承担对方的债权债务。乙方承诺对甲方授权的各种文件、印鉴等合法使用，并承担全部法律责任。甲方授权乙方对外签订设计合同，当乙方的经营活动致使甲方利益受损时，甲方有权要求乙方及时纠正并赔偿由此给甲方造成的损失。

3、甲乙双方签约后互不限制对方的经营活动地域。乙方应积极维护甲方的企业形象，提高甲方的企业知名度，努力做到企业的经济效益和社会效益双丰收。

4、合同签订后，管理费到位，乙方可以成立办事处，可授予设计合同专用章和工程技术章；乙方可根据工作需要，将办理相关业务手续人员的劳动关系转入甲方，其四金由乙方转入甲方后代缴。

5、乙方设计人员齐全，经甲方考核认可之后，可以申请注册成立分公司，可授予公章和工程技术章；乙方各专业有一个专业过硬的设计师在甲方注册并缴纳四金，并能在乙方正常上班，待工商部门核准后，所做施工图经审查合格，管理走上轨道，则按年度授予施工图出图权，所需个人注册章由乙方自行解决。

6、乙方需缴纳印鉴押金，每个印鉴押金1000元。

7、经甲乙方双方协商，采取如下两种缴费方式之一，分别如下：

1）：乙方向甲方采取每年固定上缴管理费的办法：第一年上缴人民币20万元，第二年上缴人民币30万元。自双方签字日起30日内缴纳第一年管理费的50%，满7个月后缴纳余下的50%，以此类推。若需甲方开具发票和走账，需另付11%作为税和账务管理费，在乙方不具备独立审图的情况下，乙方需另付1%的审图费。

2）：按比例上缴管理费的办法：按合同额的18%作为管理费（均含税）上缴甲方。由甲方开具发票时，乙方需预先缴纳10%的税款（款到后冲抵管理费）。当甲方认为乙方对外签订的合同价明显低于市场价时，甲方对乙方按近二年甲方设计收费的平均价收取管理费。

7、乙方不得再开设分支机构或同意别人挂靠分公司出图，一经发现任由甲方处置。

8、乙方在每个项目确定投标前和合同签订后一周内均应报甲方备案。设计过程中，项目设计的有关资料、批文、计算书、电子文件等均应以设计阶段按照甲方《技术档案管理登记表》的内容报一套到甲方归档。甲方可以择机抽查分公司的设计质量，并有权随时收回授予乙方的出图权。

9、乙方每月底应把盖章报表、财务报表及人员变动情况报甲方备案。

10、甲方应及时向乙方传达新的建筑设计信息和注册再教育以及其它必要的专业培训教育等信息，其人员培训费用由乙方承担。

11、本协议未尽事宜，双方可签订补充协议作为附件，补充协议与本协议具有同等效力。

12、本协议有效期为二年，自 年 月 日到 年 月 日，自双方签字盖章生效，本协议期满且双方仍有意向可参照本协议根据具体情况续约。

13、本协议一式贰份，甲、乙双方各执壹份。

甲方： 乙方：

代表人： 代表人：

签约日期： 年 月 日 签约日期： 年 月 日

第三篇 20160829s价格《S小姐消费奶油与巧克力》

S小姐消费奶油与巧克力，奶油价格为3元，巧克力价格为6元，她的收入为300元。

（1） 画出S小姐的预算线，这条预算线的斜率是多少？

（2） 作一条无差异曲线，在消费均衡点上，奶油为60单位，巧克力为20单位，

在这一点时边际替代率是多少？

（3） 说明预算线上的其他任何一点都不是最好的。

解（1）∵M＝Px.Qx+Py.Qy

∴S小姐的预算线：300＝3Qx+6Qy

∴这条预算线的斜率:-Px∕Py＝-3∕6＝-1∕2

(2) MRSxy＝Px∕Py＝1∕2

(3) 只有在这一点上所表示的X和Y两种商品的组合才达到在收入和价格既定的条件下，效用最大，所以在预算线上，其他任何一点都不是最好的。

第四篇 20160829s价格《B-S定价模型》

第六章 Black-Scholes期权定价模型

我们在第五章用二叉树定价方法介绍了动态无套利均衡分析方法并引入了风险中性假设。本章将通过介绍Black-Scholes期权定价模型来深化这些概念。在该模型中我们假设标的资产遵循几何布朗随机过程（这是一个特殊的马尔可夫过程）。因此在讨论之前，我们必须作一些有关概念和数学知识的准备。 一、预备知识

（一）正态和对数正态分布

1、均值为μ，方差为σ2的正态分布随机变量x的密度函数为：

f(x)

12

exp(

(x)2

22

) ⑴

如果正态变量的均值为0，方差为1，则称为标准正态随机变量，它的密度于分布函数分别为n(x)和N (x)表示，这里

n(x)

12

e

x

2

2

N(x)

12



x

e



t

2

2



dt

2、如果x是均值为x，方差为x2的正态分布变量，那么称Zex是对数正态分布的，其中Zexp(x



2

x

2

)且

2Zexp(2xx)[exp(x)1]。

22

证明：由于x～N(x,)，则x的密度函数为f(x)2x

12

x

exp(

(xx)2

2x

2

)

又因为Zex，则Z的密度函数为

1

1

g(Z)f(g(Z)) [g(Z)]

12xZ

exp(

(lnZx)

2

2x

2

)。

Z的截断均值，定义为E(Z:Za)，其值为：

E(Z:Za) 





Zg(Z)dZ (Ze)



x

a

e

x

lna

212

exp(

x

(xx)2

2x

2

) dx

2

2

2x

exp(

x2x



[x(xx)]2x

2

1n (20160829s价格

xx

2x2x



4x

lna

) dx

exp(x



2

)



lna



x



2x

) dx

exp(x



2x

2

)N(

xlna

x

x)

当a0时，截断均值成为普通的均值，则对数正态变量Z的均值即为：

Zexp(x



2x

2

) （2）

其中n(x)和N(x)分别表示为标准正态分布的密度和分布函数。

Z的方差为：

Z 

2





Zg(Z)dZZ (Ze)

12

x

2

2

22x





exp(

[x(x2x)]4x

2

2x

22

2x

4

4x



) dxZ

2

（3）

exp(2xx)[exp(x)1]

（二）布朗运动

1、带漂移的布朗运动是具有下列性质的随机过程{x(t),t0}：

⑴任何增量X(ts)X(s)都是均值为 t，方差为2t的正态分布变量， 和2是确定的参数。

⑵对任何t1t2tn，增量X(t2)X(t1),X(tn)X(tn1)是相互独立随机变量。 ⑶X(0)0且样本路径X(t)是连续的。

注意X(ts)X(s)独立与随机路径的过去的历史，即信息X()(s)对于X(ts)X(s)的概率分布没有贡献，这正是布朗运动的马尔可夫特性。

对特殊情况 0和2＝1，对应的布朗运动称为标准布朗运动（或标准Wiener过程），标准Wiener过程{Z(t):t0}的概率分布是：

Pr(Z(t)Z|Z(t0)Z0)Pr((Z(t)Z(t0))ZZ0)

12(tt0

)

ZZ0

exp(

s

2



2(tt0)

)ds

进一步地，对t1t2t3，因为Z(t2)Z(t1) 和 Z(t3)Z(t2)是相互独立的随机变量（零均值及方差为t2t1 和 t3t2），有：Z(t3)Z(t1)[Z(t3)Z(t2)][Z(t2)Z(t1)]。

2、设X(t)是漂移参数 0和方差参数为2的布朗运动，由

Y(t)e

X(t)

( t0) ⑷

定义的随机过程称为几何布朗运动。由上述布朗运动的性质⑴可知

X(ts)X(s)~N( t,t)

2

明显地，Y的取值是非负的，从方程⑵可以导出Y(t)的均值为：

t2

2

E(Y(t)|Y(0)y0)y0exp( t

)

同样地，从方程⑶可以导出Y(t)的方差为：

Var(Y(t)|Y(0)y0)y0exp(2 tt)[exp(t)1]

2

2

2

我们称Y(t)为对数正态分布，Y(t)的概率密度函数是：

g(y)

1y

2 t

exp(

(lny t)

2t

2

2

) , y0

进一步地，对任何t1t2tn，相继的比Y(t2)/Y(t1),,Y(tn)/Y(tn1)是独立随机变量，即在非重叠时间区间上的变动比是独立的。

（三）Ito引理

1、用Z(t)表示无漂移的标准布朗运动，即 0和2＝1。设ΔZ表示时间改变Δt后Z(t)的改变量，由布朗运动的性质⑴，Z(t)Z(tt)Z(t)(t)，其中是标准正态随机变量，当t0时，上面的关系可表达为微分形式：dZ(t)dt ⑸

一般的带漂移的布朗运动(Wiener过程) X(t)可以写成下面的随机微分形式：

dX(t) dt dZ(t) ⑹ 其中 是过程的漂移率，2为方差。

2、【Ito引理】设f(X,t)是连续的，有连续偏导数的非随机函数，X(t)是由下式定义的随机过程：

dX(t)a(X,t) dtb(X,t) dZ(t) 其中dZ(t)是方程⑸定义的标准Wiener过程，那么随机过程ff(X,t)有下面形式的随机微分：

df

ftdtft

fX

dX(t)

fX

12

b(X,t)12

22

fX

22

2

dt

)dtb(X,t)

fX

(a(X,t)b(X,t)

fX

2

⑺

dZ(t)

证明：

两个变量的函数ff(X,t)的泰勒展开式为：

f

ftt

fX

X

1f2t

22

t

2

ftX

2

tX

1f2X

2

2

X

2



而

dX(t)a(X,t) dtb(X,t) dZ(t)

考虑在一段很短时间内的X的改变量，即将上式写成差分形式：

Xa tb d

 t

由此可以推出： X2b22 to( t)

2222

这是因为 ~N(0,1) 有 E21 则 Var(t)(t)EE()

2

所以当t0 和 X0时，Var(2t) 是 t的高阶小量。这意味着此时2t将不再是随机变量，即2tdt。将这个结果代入上面的泰勒展开式，略去二阶以上的高阶小量，即得：

df

ft

dt

fX

dX(t)

12

b(X,t)

2

fX

2

2

2

dt

将dX(t)a(X,t) dtb(X,t) dZ(t)代入，即有

df(

ft

a(X,t)

fX

12

b(X,t)

2

fX

2

)dtb(X,t)

fX

dZ(t)

如果f只是X一个变量的函数ff(X)，则同样的导出Ito引理的结果是：

df(a(X,t)

fX

12

b(X,t)

2

fX

2

2

)dtb(X,t)

fX

dZ(t)

（四）几何布朗过程的微分形式

考虑方程⑷定义的几何布朗运动，其中X(t)的微分由方程⑹定义，取方程⑺中的

yf(X)e

X(t)

，a(X,t), b(X,t) ，利用Ito引理，y的随机微分形式为：



2

dy(

2

)ydty dZ

2

故

dyy

(



2

2

)dt dZ ⑻

（其中

fX

e

X(t)20160829s价格

y,

fX

2

e

X(t)

y

）

2

y的漂移率和波动率分别是



2

与。

（五）资产价格动力学随机模型

假设S(t)表示t时刻资产的价格，例如一年365天能观察到资产价格如下：

~~~

S(0), S(1),  S(364), S(365)

除了当前时刻t＝0之外，后面的资产价格都加上了～，因为他们都是随机变量。每天的收益率

~S(2)

可以计算为 , 

S(0)S(1)

~S(1)

~~

S(364)S(365)

； , S(363)S(364)

~Rt365

~S(t)

于是每天的收益率可以表示为： 1

， S(t1)

~

。这里Rt实际上是“按日)log365S(t1)~Rt

~S(t)

那么以连续计息方式的连续复利为：计息”的日利率，而年利率R为：

~

rt365

log(1

~~~~

R365R1R2~S(365)

1R(1)(1)(1)

365365365S(0)

连续计息的年利率r为：

~~~

R365R1R2~

rlog(1R)log(1)log(1)log(1)

365365365

资产价格动力学的一般假设是资产价格的对数log(S(t))服从Wiener过程，即资产价格S(t)遵循几何布朗运动，该假设隐含下面两点： （1）所有的rt都是独立同分布的。 （2）资产价格的变化是连续的。

和公式⑻的形式相同，我们假设资产价格动态为

dSS

* dt dZ

这里*是连续计算收益的资产在单位时间内收益的预期收益率，是价格过程的波动率，即连续计算收益的资产在单位时间内收益的标准差。定义GlnS，由Ito引理得：

dG

Gt dt

GSdS

1S

2

2

S

2

2

GS

2

2

dt1S

2

dSS





2

2

dt(*



2

2

) dt dZ

（其中

Gt

0,

GS



,

GS

2



）

故GlnS是漂移率为*



2

2

（是连续计算收益的资产在单位时间内收益的自然对数的

预期收益率），波动率为的布朗过程，换句话说，根据布朗过程的性质，用St和ST分别表示

~

~ST

服从对数正态的当前时刻t和后来时刻T的资产价格，那么logSTlogStlog是均值为

St(*



2

2

，方差为(Tt))(Tt)（即(Tt)）

2

的正态分布（见【注记】⑴），根据方程⑵和

⑶同样可以导出ST/St的期望和方差分别为：

~

STSt

E(

|St)exp[(Tt)



2

2

(Tt)]e

*(Tt)

⑼

Var(

~STSt

|St)e

2*(Tt)

[e

(Tt)

2

1] ⑽

（六）鞅

鞅和无套利原理紧密相关，如果资产价格过程有一个等价的鞅测度，那么无套利假设成立。下面给出鞅的简单定义。

设{Xn,n0,1,2,}是参数离散的实值随机过程，若下面二式成立则称{Xn}为鞅： (1)E( |Xn| )

(2)E( Xn1|X0,Xn)Xn

例如，设Xn表示赌了n盘后赌徒拥有的赌资，鞅的性质表明赌徒再赌n＋1盘后的期望赌资应等于Xn，结果与n盘以前的输赢无关。 二、Black-Scholes期权定价模型

20世纪70年代初，衍生证券的革命在股票交易市场的研究群体中掀起。1973年，芝加哥期权交易所开始从事期权的交易。同一年，Black and Scholes（1973）和Merton（1973）发表了

第五篇 20160829s价格《B-S期权定价公式》

Black-Scholes期权定价模型

一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件

Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：

1. 风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动，即dS

Sdtdz。

dt其中，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dz，称为

标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率，则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。和都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。

5. 在期权有效期内，无风险利率r保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。

6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。

7．所有无风险套利机会均被消除。

二、Black-Scholes期权定价模型

（一）B-S期权定价公式

在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole微分方程：

f

trSf

S122S22f

2rfS

其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。

通过这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：c

其中，

d1ln(S/X)(r2SN(d1)Xer(Tt)N(d2) /2)(Tt)Tt

2 /2)(Tt)d1Ttd2ln(S/X)(rTt

c为无收益资产欧式看涨期权价格；N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有N(x)1N(x)。

（二）Black-Scholes期权定价公式的理解

1. SN(d1) 可看作证券或无价值看涨期权的多头；Ker(Tt)N(d2)可看作K

份现金或无价值看涨期权的多头。

可以证明，f/SN(d1)

erT。为构造一份欧式看涨期权，需持有N(d1)份证券的现金。 多头，以及卖空数量为KN(d2)

Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。 注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。

2.风险中性定价原理

风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。C(S, t)与 S、r、t、T、σ以及 K 有关，而与股票的期望收益率μ无关。这说明欧式Call 的价格与投资者的风险偏好无关。

在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）。

为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。

为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11－0.5=9，我们解得：=0.25

因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。

在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：2.25e0.10.252.19元

由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：

100.25f2.19

f0.31元

这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。

三、Black-Scholes期权定价公式的计算

Black-Scholes期权定价公式的计算：一个例子

为了使读者进一步理解Black-Scholes期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明这一模型的计算过程。

假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。

在本题中，可以将相关参数表达如下：S＝50，X＝50，r=0.12,σ=0.1,T=1, 算出d1和d2：

d11.25

d2d10.11.15

计算Nd1和Nd2：

N

Nd1d2N1.250.8944N1.150.8749

将上述结果及已知条件代入公式，这样，欧式看涨期权价格为：

c

由P

格：p

CKe-r(T-t)500.8944500.8749er(Tt)0.1215.92美元 SKe0.121N(d2)SN(d1) 可以算出欧式看跌期权价 5010.8749e5010.89440.27美元

四、影响欧式看涨期权价格的因素

从B-S公式我们可以简单得出以下的结论：

(1)当期股价 S 越高，期权价格越高；

(2)到期执行价格 K 越高，期权价格越低；

(3)距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高；

(4)股价波动率σ越大，期权价格越高；

(5)无风险利率 r 越高，期权价格越高。

五、Black-Scholes期权定价公式的应用

Black-Scholes期权定价公式除了可以用来估计期权价格，在其它一些方面也有重要的应用。主要有以下三方面：

（一） 对公司负债及资本进行估值：

一家公司A发行两种证券：普通股100万股及1年后到期的总面值8000万元的零息债券。已知公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何定价？

令V为当前A公司资产市场价值，E为A公司资本市场价值，D为A公司债券市场价值。

V = E + D

考虑股东1年之后的收益：当A公司价值VT大于债券面值时，收益为VT -8000；当A公司价值小于债券面值时，收益为0。股东相当于持有一个执行价格为8000万元的欧式Call, 标的资产为公司价值当前资本价值为：

EVN(d1)BerTN(d2)

给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3,无风险利率为8%，根据B-S公司得到E=2824万元，公司负债价值D=V-E=7176万元。

（二）确定贷款担保价值或担保费用

假设某银行为公司发行的债券提供了信用担保。 1年之后，若公司价值VT大于债券面值时，银行无须支付；若公司价值VT小于债券面值时,银行须支付 VT – B。这相当于银行出售了一个欧式put, 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券面值B。

利用上面的例子，可采用B-S看跌期权定价公式或看涨看跌期权平价公式，得到欧式put 的价值为209万元，A公司应支付209万元的担保费。

（三）带有可转化特征的融资工具的定价

认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格向发行人购买公司新股的权利。

假设公司有N股流通股，M份流通欧式认股权证，一份认股权证使持有人在时刻T以每股K的价格购买x股新股的权利。

设时期T公司权益价值为ET ，若持有人选择执行认股权，公司权益价值变为 ET + MxK ，股票数量变为 N+Mx 。执行认股权证后瞬间，股价变为(ET + MxK)/

第六篇 20160829s价格《B-S期权定价模型》

Black-Scholes期权定价模型

(重定向自Black—Scholes公式)

Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型

Black-Scholes 期权定价模型概述

1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

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B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件

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(一)B-S模型有7个重要的假设

1、股票价格行为服从对数正态分布模式；

2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；

3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；

4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；

5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。

6、不存在无风险套利机会；

7、证券交易是持续的；

8、投资者能够以无风险利率借贷。

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(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]

C = S * N(d1) − Le − rTN(d2)

其中:

C—期权初始合理价格

L—期权交割价格

S—所交易金融资产现价

T—期权有效期

r—连续复利计无风险利率H

σ2—年度化方差

N()—正态分布变量的累积概率分布函数 ，在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100

天，则。

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B-S定价模型的推导与运用[1]

(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:

E[G] = E[max(St − L,O)]

其中，E[G]—看涨期权到期期望值

St—到期所交易金融资产的市场价值

L—期权交割(实施)价

到期有两种可能情况:

1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(St − L,O) = St − L

2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有: max(St − L,O) = 0

从而:

其中:P：(St > L)的概率E[St | St > L]：既定(St > L)下St的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:

C = Pe − rT(E[St | St > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[St | St > L]。

首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值，即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假设1收益服从对数正态分布，即ln(St / L)～

，所以E[lN(St / S] = μ，tSt / S～

/ S] = eμt + σ2T2 = erT从而，μt = T(r − σ2)，且有σt = σT

其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ξ > x] = 1 − N(x − μσ)其中:

ζ：正态分布随机变量 可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:E[St

x：关键值

μ-ζ的期望值

σ-ζ的标准差

所以:P = Pr06[St > 1] = Pr06[lnSt / s] > lnLS = :LN − lnLS − (r − σ2)TσTnc4 由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r − σ2)TσTarS。

第三，求既定St > L下St的期望值。因为E[St | St > L]处于正态分布的L到∞范围，所以， E[St | St] > = SerTN(d1)N(d2)

其

中

:

最后，将P、E[St | St] > L]代入(C = Pe − rT(E[St | St > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le − rTN(d2)

(二)看跌期权定价公式的推导

B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:

S + Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T

移项得:

Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T − S，

将B-S模型代入整理得:

此即为看跌期权初始价格定价模型。

(三)B-S模型应用实例

假设市场上某股票现价S为 164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

①求d1:

②求d2:

=0.0328

③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761

④求C:

C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。

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B-S模型的发展、股票分红

B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。

(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t(即除息日)支付已知红利Dt，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S' = S − Dte − rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:

(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004= 6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。

在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

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