奇思妙想200

奇思妙想200(一)

上海市教科研规划项目─南汇区第一中学

《在初中拓展型课程中培养智优学生运用数学方法的实践研究》

关注智优学生知识储备辅导学习材料（7）

数学方法与奇思妙想

数学方法是联系知识与能力的纽带，也是数学科学的灵魂，数学方法对培养学生的数学素质，提高学生的综合能力都起到十分重要的作用。可以这样说，只有掌握了数学方法，数学才能发挥更大的作用。所以在数学学习中必须注意数学方法的自我探究和培养。以下就数学方法与奇思妙想的应用举例说明。

一、 设而不求，牵线搭桥

例1.1、一艘船逆水而上，船上有人将一件重要物品掉入水中，随水漂流，发现时已经过了8分钟，立即掉头（掉头时间不计）。那么，再过多少分钟，船才能追上所掉物品？ 解：设V船x，V水a（这里的x，a均为设而不求），再过t分钟，船追上所掉物品， 则 t(xa)8(xa)8ata

解得t8。

例1.2、旅客在车站候车室排队等候检票，并且排队的旅客按一定的速度在增加。设检票速度一定，当车站开放一个检票口，需要半个小时方可让待检旅客全部检票进站；若同时开放两个检票口，则只需十分钟便可让旅客全部检票进站。现有一班增开列车过境载客，必须在五分钟内让旅客全部检票进站，问此时至少要同时开放几个检票口？ 解：未知元素很多，不妨多设字母牵线搭桥。

设检票开始时等候检票的旅客为x人，排队人数每分钟增加y人，每个检票口每分钟检票z人，再设车站同时开放n个检票口时，可以在5分钟内将旅客全部检票进站，则

1）x30y30z　　　　（　 x10y20z　　　　（2）

x5yn5z　　　　（3）

x15z 由（1）、（2）可得z， y2

代入（3），得n3.5，

由于n为正整数，故n4.

这里的x,y,z均为设而不求，只为求n铺的桥。

二、 添线造角，化隐为显

添线造角的目的是：（1）将分散的几何条件转化为相对集中的条件，使已知与证明之间

分散的元素相对集中在一个图形或几个图形中；（2）将不规则的图形转化为规则的图形，或把复合的图形转化为单一的图形，或把复杂的图形转化为简单的基本图形。添线造角的方法没有现成的、固定的方法可循，可在自己的解题实践中不断总结与积累，真正做到熟能生巧。

例2.1、已知AB//CD,B60,BED98，求D的度数。

解：无法直接求解，不妨添线造角，运用添加的线与角搭桥。

方法一：过E作EF//AB；

方法二：连结BD；

方法三：延长DE交AB于M；

方法四：延长BE交CD于N。

归纳：涉及平行线问题无从下手时，可以及时添线，其作用是“造角”，使问题与已知搭起桥，从而建立起数学模型，化隐为显，问题就迎刃而解了。

例2.2、在ABC中，BC3，CA5,BA7。求：ACB的度数。

解：无法直接求解，不妨添线造角，创造条件。

作ADBC，垂足为D，造出直角。设CDx，

在RtACD中，有AD252x25x 2222在RtADB中，有AD7(x3)

故CD1AC 2

所以DAC30,故ACB9030120。

（此题也可用余弦定理来直接求解）

三、 对应方法，类比归纳

对应方法在数学中随处可见。例如：实数与数轴的点集对应；函数概念即为两个变量或

集合元素的单一对应；函数图像上的点与满足函数解析式的有序数对的对应；几何图形与

相关性质的对应等。运用对应方法来处理，解决数学问题可以通过它的对应性质转化为研

究另一个对应问题，以达到研究解决原事物的目的。

例3.1、已知直线L：ymxm过一定点A，求A点的坐标。

解：显然这样的直线有无数条，但都通过一定点A，找出对应的方程axb，即a0,b0

，y0时m可取无数值。因此可见过时x有无数解来化归，即：(x1)my,当x1

点A（1，0）的直线有无数条，即对应的axb有无数解。

例3.2、李明于晨7时从甲地出发，中午12时到达乙地。第二天他于晨7时从乙返回，恰好在中午12时回到甲地。如果李明在途中行走的速度可以随意变化，那么途中是否存在这样的点，使得李明往返途中在手表面的同一时刻通过此点？说明理由。

分析：鉴于满足题设条件的点是隐晦的，直接说明它的存在或不存在都是不易的。如若构想

第二天与李明从乙地返回甲地的同时，对应的有另一个从甲前往乙，那么这样的点存在是十分明显的了。

显然运用对应方法解决问题的思维过程是：

例3.3、某人租用一辆汽车由A城开往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示。若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元。试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需要费用最少为多少元？

解：从A到B的路线，对应的有6种，选择最短的路线需分类比较，选择最优。

A→C→D→E→B： 需要14+6+17+12=49小时；

A→C→O→E→B：需要14+13+10+12=49小时；

A→F→O→E→B：需要15+11+10+12=48小时；

A→F→O→H→B：需要15+11+5+18=49小时；

A→F→G→H→B：需要15+7+9+18=49小时，

因此从A到B最短路线为A→F→O→E→B需48小时，

所需费用最少是48×80×1.2=4608元。

四、 简单变化，化繁为简

较复杂的数学问题，经常可通过寻找规律、猜想探索、简单变化的方法，化繁为简，从

而使复杂的问题得到迅速解答。解题的思维过程是：

例4.1、计算12222 

2n个n个

解：从最简单的变化做起：2

93 2233

n个n个 寻找规律：122223333 2n个

解答过程如下：122221000201111 

2n个n个n个n个n个

1101111 

n个n个n

1(101)19999 

n个n个n个n

1333333333 

n个n个n个

例4.2、计算：(11111)(1)(1)(1) 2222234100

解：直接计算很繁，但分析规律，简单变化，就得到化繁为简的目的。

11111111原式（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）223344100100

1324399101 　　　22334100100

1101101　　　2100200

五、 分析综合，思维畅通

分析与综合法是数学方法中最基本的方法，也是联系知识与能力的纽带，更是数学科学

的灵魂。基于如下的考虑：只有经过严格的数学分析法、综合法的数学训练，才能使学生在未来的数学学习中，把特殊的方法与灵活的运用互相结合，才能更好地把握学习的主动性和适应性，从而为他们走上社会奠定扎实的思维基础。

一般认为分析着重把问题分解为各个部分，其思维是由未知（结论）推溯到已知（条件），即执果溯因。综合是指将问题中的各个部分重新有条理的组合起来，思路是由已知（条件）推证到未知（结论）。分析与综合是彼此互逆的思维方法。

例5.1、在ABC中,AB8,AC4,BC443,求A,B的度数。

分析：直接求解较困难（运用余弦定理可直接求解），不妨构建直角三角形数模，尝试解答问题。为此可作AD⊥BC，欲求∠A，∠B的度数，只需求AD，BD，CD的长度，这与已知条件牵线搭桥，可利用勾股定理求解。

解：（综合）过A作ADBC，垂足为D，设BDx，则CD443x

在RtADB中，AD2AB2BD282x2x4 22222在RtADC中，ADACCD(46)(443x)CD43AD4ADCDCCAD45，

1AB,且AD⊥BC，因此B60,BAD30 2

故BAC75。 而BD4

例5.2、已知2b2c1，求证：b24ac。 a

分析：欲证b24ac（似曾相识），只需证b24ac0（联想思考），而这对应于方程：ax2bxc0(a0)有实数根。

证明：（综合）整理原式：2c2ba0

即c(2)2b2a0

显然2为方程cx2bxa0的实根，

因此此方程的(b)4acb4ac0，

即b24ac。

可见分析是解题的先导和探索，而综合则是解题过程的感受。

例5.3、已知正方形ABCD的面积为2720，O为它的中心，P为正方形内一点，且OPB45

PA:PB7:11，求PB的长度。

分析：若求出PB的长度，则只要解△PAB即可，此三角形中AB边易得，其他边及角度可以通过辅助线来求出。

22

奇思妙想200(二)

奇思妙想之后的解题教学

广州市第八十七中学 袁忠民

【摘要】：解题教学中的奇思妙解常常为数学课堂添彩，但处理不好就华而不实，流于走马观

花的形式，或者沦为教师和少数尖子学生的独角戏.如何对大多数学生都有效？本文对此提出三点处理建议：①讲特殊解法同时对比通用解法；②揭示特殊解法中蕴含的数学思想；③归纳常用解题方法和技巧.