初一证明题及答案

初一证明题及答案(一)

1. 已知：如图11所示，ABC中，C90于E，且有ACADCE。求证：DE

1

2

2. 已知：如图 求证：BC＝

3. 已知：如图13所示，过ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。 求证：MP＝MQ

4. ABC中，BAC90，ADBC于D，求证：AD

1

ABACBC 4

【试题答案】

1. 证明：取

ACAD AFCDAFC 又1490，1390

43ACCE

ACFCED(ASA)

CFED

1

DECD

2

2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截

CBCE

BCDECDCDCD

CBDCED

BE

BAC2BBAC2E

又BACADEE

ADEE，ADAE

BCCE 3. 证明：延长PMCQAP，BP BP//CQ

PBM 又BMCM，

BPMCRM

PMRM

QM是RtQPR斜边上的中线

ADBC，ADAE

BC2AE2AD

ABACBC2BCABACBC

4ADABACBC

AD

1

ABACBC4

初一证明题及答案(二)

一、选择题

1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件： ①BACD；②ADCACB；③

ACCD

ABBC

；④AC2ADAB．

其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．

4

【关键词】三角形相似的判定.【答案】C

2.（2009年上海市)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ） A．

ADDF

BCCE

BCCE

DFAD

CDEF

BCBE

CDEF

ADAF

B． C． D．

【关键词】平行线分线段成比例【答案】A

4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：

（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有： A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形

4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为 A.2

B.

3 C. 2

D.6

【答案】A

5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，

CD上)，记它们的面积分别 为SABCD和SBFDE．现给出下列命题：（ ）

①若

SABCDSBFDE

22

，则tanEDF

3

．②若DE2BDEF,则DF2AD．

则:

A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题 【答案】A

例1 如图20，∠1＝∠2，AE⊥OB于E， BD⊥OA于D，交点为C．

求证：AC=BC． 图20 证法：∵AE⊥OB，BD⊥OA，∴∠ADC=∠BEC=90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE． 在△ACD和△BCE中，

∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠3＝∠4． ∴△ACD≌△BCE(ASA)，∴AC=BC．

12

12

D

EC

例2 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD=

BE．

证明：过点D作DF∥AB交BC于点F． ∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．

∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC． 图26 ∴∠2=∠3，∴DF=BF．

∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C． ∴∠4=∠C，CD=DF． ∴CD=EF=BF，即CD=

12

BE．

3）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.

(1) 求证：△ABD∽△CAE；

(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长.

答案：

(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ DBA = CAE,

又∵

ABAC



BDAE

3, ∴ △ABD∽△CAE.

(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =22BD ，

∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， ∴D =90°, 由（1）得 E =D = 90°, ∵ AE=

13

BD , EC =

13

AD =

23

2BD , AB = 3BD ，

∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2

= (3BD +

13

BD )2 + (

223

BD)2 =

1089

BD2 = 12a2 ,

∴ BC =23a .

3, 如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E．

求证：BE=CE

证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠ED ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90°

∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE

18.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD

⊥AB于D，

E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。

（1） 求证：FD2=FB●FC。 （2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。

【关键词】相似、垂直

【答案】证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点 ∴DE=EA

∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A…

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F是公共角 ∴△FBD∽△FDC ∴（2）GD⊥

EF

FBFD

FDFC

∴FD2FBFC

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4

由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1 ∵∠3+∠5=90°∴∠5+∠1=90° ∴DG⊥EF

21.如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．

（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若OB2，OP

72

，求BC的长．

【关键词】相似三角形有关的计算和证明

【答案】（1）证明：BC∥OP AOPB AB是直径 C90° PA是⊙O的切线，切点为A OAP90° COAP △ABC∽△POA （2）△ABC∽△POA 

BC2

472

BCOA



ABPO

 OB2，PO

72

OA2，AB4



72

BC8， BC

167

初一证明题及答案(三)

平行线的性质与判定的证明

1

2

3

4

5

初一证明题及答案(四)

初中几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）

证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE

∵EG⊥CO，EF⊥AB

∴∠EGO=90°，∠EFO=90°

∴∠EGO+∠EFO=180°

∴E、G、O、F四点共圆

∴∠GEO=∠HFG

∵∠EGO=∠FHG=90°

∴△EGO∽△FHG ∴EOGO= FGHG

∵GH⊥AB，CD⊥AB

∴GH∥CD GOCO HGCD

EOCO∴ FGCD∴

∵EO=CO

∴CD=GF

2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。

求证：△PBC是正三角形．（初二）

证明：作正三角形ADM，连接MP

∵∠MAD=60°，∠PAD=15°

∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°

∵∠BAD=90°，∠PAD=15°

∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°

∴∠BAP=∠MAP

∵MA=BA，AP=AP

∴△MAP≌△BAP

∴∠BPA=∠MPA，MP=BP

同理∠CPD=∠MPD，MP=CP

∵∠PAD＝∠PDA＝15°

∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°

∵BA=CD

∴△BAP≌∠CDP

∴∠BPA=∠CPD

∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD

∴∠MPA=∠MPD=75°

∴∠BPC=360°-75°×4=60°

∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形

3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN

于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG

∵CN=DN，CG=DG

∴GN∥AD，GN=1AD 2

∴∠DEN=∠GNM

∵AM=BM，AG=CG

∴GM∥BC，GM=1BC 2

∴∠F=∠GMN

∵AD=BC

∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM

∴∠DEN=∠F

经典题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G

∵OG⊥AF

∴AG=FG

⌒ =AB⌒ ∵AB

∴∠F=∠ACB

又AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠BHD+∠DBH=90°

∠ACB+∠DBH=90°

∴∠ACB=∠BHD

∴∠F=∠BHD

∴BH=BF又AD⊥BC

∴DH=DF

∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD

又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD

∴四边形OMDG是矩形

∴OM=GD ∴AH=2OM

（2）连接OB、OC

∵∠BAC=60∴∠BOC=120°

∵OB=OC，OM⊥BC

∴∠BOM=1∠BOC=60°∴∠OBM=30° 2

∴BO=2OM

由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO

2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.

求证：AP＝AQ．

证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF

∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°

又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF

即∠PAE=∠QAF

∵E、F、C、D四点共圆

∴∠AEF+∠FCQ=180°

E