射飞镖学校比赛200

射飞镖学校比赛200(一)

射飞镖学校比赛200(二)

射飞镖学校比赛200(三)

飞镖投射问题

1 问题的提出

在现实生活中，人们不断追求投射的准确度，而且现实生活中有很多类似的问题，然而现实生活中由于空气阻力的存在，现实中并不存在真正的斜上抛运动，并不像中学里的计算平抛运动那样简单。找到合适的投射角度和力度，对飞镖投射者来说非常重要。

2 模型的摘要

飞镖投射的角度、飞镖的初速度以及空气的阻力都会对飞镖投射的准度、命中的环数产生影响。本文先在没有考虑空气阻力的条件下，对飞镖做斜上抛运动的轨迹进行分析，从而得到飞行的初速度和角度的关系，然后在考虑空气阻力的条件下，分水平和竖直两个方向，并运用一阶微分方程的变量分离法求出速度随时间变化的关系，从而得到位移和时间的关系，最后用牛顿切线法给出求近似解的方法，并给出近似解，最终得到投射角度和速度的关系，并给出对近似解误差估计的方法，但不对近似解作出估计。

关键字：空气阻力，斜上抛运动，变量分离法，牛顿切线法，近似解误差估计。

3 模型的假设

（1）将飞镖抽象为质点。

（2）靶脱手距地面高h1，飞镖靶心距地面高度h2。

（3）飞镖是在垂直与地面的某一平面飞行，而且靶心也在该平面。 （4）从飞镖脱手时开始计时。

（5）为计算方便，假设本文中符号不带有单位，仅表示单纯的数量。 （6）飞镖在飞行过程中先上升，后下降，且下降的时间很短。

4 模型的建立

（1） 在没有空气阻力的条件下

分析：在没有空气阻力的条件下，靶脱手之后只受重力，有斜向上的初速度，因此物体做斜上抛运动。水平方向做匀速直线运动，竖直方向做加速度为g的匀减速直线运动。



设飞镖离开投射者时距靶的距离为d，飞镖的投射角度为0，初

2速度为v0，飞行时间为t。

水平方向：dv0cost （4-1）

0v0singt1 （4-2）竖直方向：

其中t1为飞镖从脱手到减速到零即到达最高点的时间，g为重力加速度，为已知常量。

若设从脱手到飞到最高点飞行高度为h，则

1

hgt12 （4-3）

2

从高点到飞行停止时飞行的高度为

12

（4-4） hh1h2gt2

2

其中t2为飞镖从最高点到到达靶面的时间。

而对于d、h1、h2均为可测的，可看作已知量，因此由（4-1）、（4-2）、（4-3）、（4-4）式可以得到v0、的关系为：

2

v0sin2vsin21d h1h2g(0)

2g2v0cosg

（2） 空气阻力存在的条件下

分析：水平方向由于空气阻力的存在，做减速运动，而由于空气阻力与速度成正比，所以空气阻力为变力。由空气阻力的计算公式fkv（k为空气摩擦系数，与空气密度有关），可知该方向做的是加速度逐渐减小的减速运动；竖直方向先做竖直向上的加速度逐渐减小的减速运动，知道到达最高点后，向下运动，由于初始时刻速度为零，所以由公式fkv可知在一段时间内空气阻力将小于物体重力，直到空气阻力和重力相等后，由于竖直方向受力的平衡将一直做竖直向下的匀速直线运动。但是我们假设下落时间很短，所以当飞镖落到靶面上的时候还未到达fmg的时刻。 水平方向我们有：

dv1kv

1 dtm

其中，v1为水平方向时的速度，利用一阶微分方程的变量分离法可以得到：

kt

c1（c1为一固定常数） m

特别的，当t0时，

lnv1

(0cos) c1lnv

进一步的，将c1带入上式中得： v1v0cose

kt

m

上式对t进行积分得：

ktm

sv0cose

t

dt

令上式的右端等于d，我们得到飞镖总的飞行时间 t

mkdln1() kmv0cos

竖直方向按照假设飞镖先做竖直向上的，加速度逐渐减小的减速运动，最终

减速到零。因此有：

dv2mgkv2



dt1m

其中v2为飞镖上升时的速度，利用一阶微分方程的变量分离法可以得到： lnkv(2mg)

kt1

c2（c2为一固定常数） m

特别的，当t10时， c2ln(kv0sinmg) 进一步的，将c2带入上式中得：

11

v2[(kv0sinmg)emmg]

k

kt

令v20，得到飞镖上升的总时间t总1 上式两边对t1进行积分得： hh1

t1

mmg

ln

kkv0sinmg

11

kv0sinmg)emmg]dt1 k

kt

mv0sinm2gmg

2lnh1 将t总1的值带入上式中，可以求得h

kkv0sinmgk 由分析知道：当越过最高点后，重力和空气阻力反向，且重力初始时大于

空气阻力，因此飞镖开始作加速度逐渐减小的加速运动。因此有：

dv3mgkv3



dt2m

其中v3为飞镖下降时的速度，利用一阶微分方程的变量分离法可以得到：

(kv3) lnmg

kt2

c3（c3为一固定常数） m

t2从过最高点后开始计时。 特别的，当t20时，v30， c3lnmg()

进一步的，将c3带入上式中得：

2mg v3(1em)

k

kt

上式两边对t2进行积分得： hh2 令 x

kt2

m

t2

2mg

(1em)dt2 k

kt

mv0sink2m2gemg

hhln c2212 kvsinmgkmgk0

则可得以下方程：

xexc0 （4-5） 对该方程的解采用牛顿切线法给出求近似解的方法。 令fxxexc，则有f'x1ex，f"xex

首先对t2进行定性估计，由题意知，有空气阻力条件下的下落时间t2应小于总的飞行时间，即：

mkd

() t2ln1kmv0cos

并且由二的分析知，下落过程中kv3mg，因此下落过程中的加速度始终小于2g， 由h

12

at和下落高度hh2既定，下落总时间t22

hh2

，则分别令g

aln1(

kdkhh2

)，b，