怎么证明直线与直线平行

篇一:《与直线平行的有关证明》

《与直线平行的有关证明》200年中考试题集锦

1题. （2005 云南课改）小颖在做下面的数学作业时，因钢笔漏墨水，不小心将部分字迹污损了．作业过程如下（涂黑部分即污损部分）：

已知：如图，OP平分AOB，MN∥OB， A求证：OMNM．

证明：因为OP平分AOB， 所以 M

又因为MN∥OB，

所以

B O 故13，

所以OMNM．

小颖思考：污损部分应分别是以下四项中的二项：

①12 ②23 ③34 ④14

那么她补出来的结果应是（ ）

Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．①② Ｄ．③④

答案：Ｃ

2题. （2005 盐城大纲）如图，已知：在△ABC中，F为AC中点，E为AB上一点，D为EF延长线上一点，AACD．

求证：CD平行且等于AE．

答案：证明：∵AACD

∴AE∥CD A D B ∵AACD，AFCF，AFECFD

∴△AFE≌△CFD(ASA)

∴CDAE

∴CD平行且等于AE

3题. （2005太原大纲）在44的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．线段AB和CD分别是图中13的两个矩形的对角线，显然AB∥CD．请你用类似的方法画出过点E且垂直于AB的直线，并证明．

ＣＡ

Ｄ

答案：解：如图，直线AE为所画的直线．

证法一：由网格的特征，得

EFAG3，AFBG1，FG90， ∴△EFA≌△AGB，∴FAEGBA．

∵GBABAG90，∴FAEBAG90． ∴EAB90，即EA⊥AB．

证法二：连接BE．由网格的特征，得FGBCE90． 由勾股定理，得AE10，AB10，BE20． 222

∴AE2AB2BE2

∴BAE90，即EA⊥AB．

证法三：由网格的特征，得GF90．∴FAEAEF90． 在Rt△BAG和Rt△AEF中，

tanBAGBG1AE1，tanAEF. AG3FE3

∴BAGAEF，BAGFAE90

∴EAB90，即EA⊥AB．

Ｃ

Ｄ

篇二:《证明直线平行》

证明直线平行证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行 则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾 所以假使不成立 所以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出： 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 因为 a‖b,a‖c, 所以 b‖c (平行公理的推论)

2

“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行 证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.

4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C 认六一值!小人﹃夕叱的 一试勺洲洲川JL ZE一B /(一、图月一飞 /匕一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是

(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：

(1) 平行—没有公共点;

(2) 相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2. 两个平面平行的判定定理表述为：

4. 两个平面平行具有如下性质：

(1) 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

(2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 简述为：“若面面平行,则线线平行”。

(3) 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

(4) 夹在两个平行平面间的平行线段相等

2

用反证法

A平面垂直与一条直线，

设平面和直线的交点为P

B平面垂直与一条直线，

设平面和直线的交点为Q

假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么

做三角形 PQR

PR垂直PQ QR垂直PQ

没有这样的三角形。

篇三:《怎样证明两直线平行》

怎样证明两直线平行“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行 证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.

4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C 认六一值!小人﹃夕叱的 一试勺洲洲川JL ZE一B /(一、图月一飞 /匕一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是

(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：

(1) 平行—没有公共点;

(2) 相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2. 两个平面平行的判定定理表述为：

4. 两个平面平行具有如下性质：

(1) 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

(2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

(3) 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

(4) 夹在两个平行平面间的平行线段相等{怎么证明直线与直线平行}.

2

用反证法

A平面垂直与一条直线，

设平面和直线的交点为P

B平面垂直与一条直线，

设平面和直线的交点为Q{怎么证明直线与直线平行}.

假设A和B不平行，那么一定有交点。 设有交点R，那么

做三角形 PQR

PR垂直PQ QR垂直PQ

没有这样的三角形。

篇四:《初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全》

初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

篇五:《直线与平面平行与垂直证明方法》

立体几何——平行与垂直证明方法

（1）线线平行的判断：

⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。{怎么证明直线与直线平行}.

（2）线线垂直的判断：

⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

（3）线面平行的判断：{怎么证明直线与直线平行}.

⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 ⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（4）线面垂直的判断：

⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

（5）面面平行的判断：

⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。

（6）面面垂直的判断：

⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

其他定理：

（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；

（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；

直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ； 平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；

（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；

如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的

锐角(或直角)相等；

（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，

射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相

等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。

（6）异面直线的判定：①反证法；

②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。{怎么证明直线与直线平行}.

（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。

（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。

（9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。 唯一性定理：

（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。

（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。

（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。

，如果E'AF为钝角，公式中取正号）

篇六:《两直线平行相关证明题目》

两直线平行的证明方法

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。{怎么证明直线与直线平行}.

5.梯形的中位线平行于两底。