会的题错了反思

会的题错了反思(一)

杭州市启正中学 应晓蔚

[摘要]：本文通过对学生在一道中考数学应用题解题过程中的高错误率的分析，得出当前学生存在的数学实践应用能力弱的主要原因是，一：过多的机械式训练使学生思维僵化；二：不重视解决应用问题能力的培养；三：缺乏对影响应用题学习的非智力因素的培养。文章着重从四个方面论述了应用题教学的改进手段。

[关键词]：应用题 教学 能力

一、问题的缘起

06年杭州市中考数学卷23题：杭州休博会期间, 嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施. 若不计维修保养费用, 预计开放后每月可创收33万元. 而该游乐设施开放后, 从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元), 且．．

yax2bx; 若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元), g也是关于x的二次函数，若维修保养费用第1个月为2万元, 第2个月为4万元。

(1) 求y关于x的解析式；

(2) 求纯收益g关于x的解析式；

(3) 问设施开放几个月后, 游乐场的纯收益达到最大? 几个月后, 能收回投资? 该题是一个较普遍的二次函数应用题，粗粗一看，内容不显生涩，对初三学生而言则似曾相识，难度不算太大，然而试卷中学生的卷面解答却不尽人意。主要错误试归纳如下：

错误1：看到维修保养费用第1个月为2万元, 第2个月为4万元及解析是＝yax2bx，许多考生马上用x＝1,y＝2；x＝2,y＝4带入求解导致错误。 错误2：认为纯收益＝创收－维修保养费用，得纯收益g＝33x－（xx）。

错误3： 计算g＝33x－（xx）－150时得g＝33x－xx－150或是g＝33x＋x－x－150等。

二、错误的分析

引起这些错误的原因是什么呢？对学生解题的错误，Newman（1977）认为学生在解一步文字题时，要想得到正确的解答，必须扫清一系列障碍，其中的任何失误均会2222

影响解题的进程，导致最后解题的失败。在此意义下，Newman从解题过程角度提出错误的层级，将其分为五个水平：阅读、理解、转换、加工技能、编码。理解错误指的是没有掌握问题中所有信息的意义。操作技能的错误指的是与算法有关的错误。编码错误指的是书写错误，如笔误等。笔者认为，有些错误是与多个层级相关的，结合Newman的观点可以进一步分析以上错误的原因。

1、从学生答卷角度分析

错因1：阅读理解失之偏颇。粗心大意，读题不仔细，将“维修保养费用累计” ．．误解为“某时间段维修保养费用”。造成这一错误，一方面可能是由于长期的机械练习形成了解题的思维定势：看到题目中的yax2bx，和数据x＝1,y＝2；x＝2,y＝4，就不加思索，用待定系数法；另一方面，由于这是一场进入高中的升学考试，有的同学比较紧张，害怕时间不够，在读题上花的时间不多，匆匆浏览，未看清关键词即仓促下笔。

错因2：与理解转换忽略关键词相关。文字解析中须将“纯收益”转换为“创收－维修保养费用累计”，忽略了本题还有“投资150万元”，造成解题建模时的关键错误。许多学生缺乏把实际问题转化为数学问题的能力。平时他们只是机械地模仿简单的应用题的套路，一些熟悉的应用题，一看便知是什么类型，但遇到一些文字叙述较长、与平时练习有细微差异的字句，极易被这些设置“隐秘”的“陷阱”迷惑，只是凭借感觉与记忆想当然地解题，往往造成大错。这除了思维惰性，更主要是由于知识面狭窄，不理解问题中概念间的关联所致。根本原因是缺乏解决实际问题的综合能力。

错因3：即是操作技能方面的错误。这类错误归因于解实际应用问题的心理素质差。由于应用题具有灵活性强、难度大、要求高等特点，学生在思想上对其有排斥倾向，心理上有强烈的畏惧感。这种不得已而为之的心态，使不少学生在试卷上一见到文字表达就心慌意乱，过分紧张，希望能够赶快将分拿下，结果往往事与愿违。

2．从教师施教的角度分析

近年来的中考题中，应用题的内容及形式不断翻新，摆脱了原有的陈旧模式，题目涉及面广、综合性强、难度大，它要求学生必须具有更扎实的综合基础知识、更快捷的阅读能力和更有效的理解、分析、判断能力。但许多教师的教学方式却跟不上改革的步伐，主要表现在以下三个方面：

过多的机械式训练使学生思维僵化。部分教师为追求课堂效率，常就题论题，强化解决问题的常规思维，反复操练，使学生形成了不良的思维定势，以致解题时灵活不足，死板有余。

不重视解决应用问题能力的培养。由于很多应用题实际背景复杂、难度大，一些教师对学生缺乏信任、对学生能力估计过低，教学上放不开，常将应用题的实际背景删去，教学多系自己讲解为主，学生自主阅读、分析活动少，因而学生是“听起来懂，做起来难”。许多学生一碰到有新背景、新概念的应用题，题还没读、就被题吓倒，根本谈不上读题、理解转换、建模、反思等能力的训练，有的总是停留在模仿——操练的低水平上。

缺乏对影响应用题学习的非智力因素的培养。很多学生从小怕学应用题，对应用题学习根本无兴趣可言。良好的学习兴趣是学习活动的自觉动力，但许多教师未能引起重视。在应用题教学中，有些教师只能死盯教材、复习用书上有限的几道题目，不管难易、不根据学生实际，将题目做完算数，不会切实设计有利于激发学生兴趣的应用问题和实践活动。因此学生对应用题无兴趣、无信心，应试心理素质差。

三、改进应用题教学的策略

全日制义务教育《数学课程标准》强调，数学课程要“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，„„”。从本次考题的分析看，我们以往教学应用题的弊端在于机械的理论式的题海战术，忽视了学生自主解决实际问题能力的培养,使得学生在中考时,由于实际应用能力缺陷而错误百出。因此改进应用题教学迫在眉睫，笔者根据多年的教学实践谈一些认识。

1、创设应用题教学情境

传统应用题教学往往把知识简单化，以便让学生更容易理解，而这常常会使教学脱离实际生活情境，使学生所形成的知识教条化、僵化而无法灵活迁移。建构主义者提倡情境性学习，主张学习应在真实的任务情境中进行，让学生解决具有一定复杂性的真实问题。例如，在学习一元一次方程应用题时，可设置如下问题，创设情境。

例1、电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收月租费50元，此外通话时间按0.4元/分加收通话费；计费方法B是不收月租费，通话时间按0.6元/分收通话费。

（1）用计费方法B的用户一个月累计通话360分所需的话费，若改用计费方法A，则可通话多少分？

（2）计费方法B通话75分所需的话费，若改用计费方法A，则可通话多少时间？

（3）这两种计费方式哪种更合算？

在应用题教学中，情境教学引导学生借助形象思维理解抽象的数量关系，从整体上把握解题思路。情境问题能有效防止学生的思维定势，在探索情境问题时，学生与其说是在学习，还不如说是在做身边的一件事情。另外，学生对教师设计的情境问题

充满好奇，急切的想探究、理解疑问之处，一旦成功，他们即会体验到成功的快乐，如果多次获得成功，他将会形成稳定的学习兴趣，因此，教师创设应用题教学情境，不仅能引起学生的好奇心、激发兴趣，而且还可以让学生有成就感。

然而情境的创设不能放任随意，流于形式，只有以数学问题为本质，学生的认知规律为依据，才能创设出有利于学生思维发展的教学情境，从而培养学生的应用题学习兴趣，提高教学质量。比如以下问题对七年级学生而言是个较好的情境问题，对九年级学生而言则不太能满足他们的好奇心了。

例2：杭州有三个商场搞促销活动，A商场推出满300元减135元活动， B商场推出满400元减160元活动，C商场推出满200元送200元活动，试比较哪个商场的折扣最低？若小明妈妈在A商场买一件标价598元的外套，为凑足600元，她又买了一双标价25元的袜子，那么她的实际折扣是多少？若在三个商场都有她想买的一件标价220元，一件标价160元的商品，则分别在三个商场购买的实际折扣各是多少？

2、依据学生实际，合理使用教学素材。

应用题教学资源多种多样，来自教材、复习用书、中考试题、网络等等。各种题目难易不同、价值不等，一些复习书、试题集上常常会出现相似题或雷同题，教师若不根据学生实际，采取题海战术，则不仅造就学生的思维定势，而且会使学生对应用题没兴趣、没信心，对能力培养更是无从谈起。因此，教师应依据学生实际合理使用资源。

初一的新生，以从未有的自豪感、新鲜感和好奇心走进中学大门。尽管有的学生过去害怕应用题，但他们希望有一个新的开始，摆脱原有的恐惧与困惑，教师应抓住这一契机，让学生对应用题有一个新的认识。比如，在学习有理数运算时，可以让学生进行根据算式1200×（1-20%-36%）编应用题的练习，这种简单的做法，不仅能加深学生对算式的理解，更重要的在于将应用题贯穿于教学的始终，培养学生的数学应用意识。

在应用题例题、练习设计时，教师应做到设计梯度合理、难度适宜，坚决舍弃无思维训练价值的题、合理改编大量相似题型，使题目在训练学生思维方面产生更好的效果。比如一题多问、变式训练、改题编题都能较好的发挥现成资源最大效能，促成学生的有效学习。

例3：如图1，用长为24 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.

（1）设矩形的纵边为x（m），面积为y (m)，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

2

图1 图2 图3

变式1：将苗圃改为一面靠墙，并在与墙平行的一边开一道1 m宽的门（门不用篱笆做材料），其余条件不变，当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

变式2：若围成中间隔有一道篱笆的矩形苗圃，且墙的最大可用长度为10m，当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

本题原题结论与条件关系直接，数量关系清晰明了，学生易于建立目标函数顺利求解。变式1示出矩形苗圃的横边长。变式2除了已知纵边，表示出横边建立目标函数外，还需分析出自变量的取值范围才能正确求得最大值。三个小题由浅入深，层层递进，每一小题为后一题做好铺垫，这种一题多变的设置能使思维能力一般的学生得到很好的训练。

3、重视学生活动，培养应用能力。

（1）、解题探究活动

应用题探究活动即：在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题的过程，这一过程需要给学生充足的时间探索、适度的空间交流。

例4：有一种葡萄,从树上摘下后不保鲜,最后只能存放一周,如果放在冷藏室,可以延长保鲜时间,但每天仍有一定数量葡萄变质,假设保鲜期间的个体重量基本保持不变,现有一个体户,按照市场价格收购这种葡萄200千克放在冷藏室内,此时市场价为2元,椐测算,此后每千克鲜葡萄的价格每天可上涨0.2元,但是,存放一天需各种费用20元,日平均每天还有1千克葡萄变质而被丢弃。该个体户将这批葡萄存放X天后将鲜葡萄一次性出售,可获利润Y为多少?最大利润Y是多少?

本题数量关系比较复杂，学生在探究时会出现各种错误的理解，教师在碰到这种问题时，不能急于求成，看到学生不会做就开始讲解。应让学生交流各自的理解和解答，分析题目的背景关系、数量关系、问题求解的目标等等。并且应将学生的错解作为课堂的生成资源，如让学生解释Y=（2 +0.2 x-2）×200- 20x或Y=（2 +0.2 x）（200-x）-20x等错误式子的实际意义。通过探索、交流活动，学生能获得解题成功的经验和失败的教训，如果经过长期的训练，必定形成一种较强的问题转换能力。

会的题错了反思(二)

从错题中学会反思

棋盘中学 张慧颖

摘 要：学生在学习过程中不可缺少反思，通过学会从不同类型的错误中展开反思是学生规避错误的一条有效途径，对解题能力的培养起着重要的作用，同时强化正确的知识，对真正掌握知识大有裨益。

关键字：理解概念 审题条件 思想方法 阅读能力

高效课堂的教学需要学生自主学习的紧密配合，学生在自主学习的过程中往往只看重题目的做法和结果，而忽视了进一步探究为什么这么做、还有哪些方法这样做，这一重要步骤，也就是反思。笔者认为反思是学习的重要环节，是数学思维形成的重要条件，否则就像猴子掰玉米，最后只剩一个。

在教学的过程中，我就发现学生常会遇到这样的困惑：课上听懂了，练习也能做对，但课后做同类型的题目时又会出错，甚至不会做了，这些引起了我的思考。通过我对学生进一步的了解发现学生丢掉了一个很重要的环节——反思，不知道应该反思些什么。学生做错题目是一种常见的现象，对错题往往印象很深刻，教师应充分利用错题这一教学资源，指导学生如何反思，反思什么，从反思的结果中再去认知，会得到更好的学习效果。下面通过几种典型的错题来探讨如何反思、反思什么。

一、概念模糊致错

学生对概念的理解不到位，解题时常会出错，是常见的错误之一，如集合、函数、概率、向量等概念需要学生们用更多的时间去理解运用。

【例】如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方



向运动角0到达点P12

动

4

到达点P2，若点P2的横坐标为，则cos的值等35

于 .

错因 正解 因为点P2的横坐标为

434

(，，所以P2的纵坐标为，故有cos

5355

sin(



3

)

334

，则co. s=cos[()53310

反思 本题主要考察三角函数的定义，及对两角和与差公式的理解。三角函数的定义中，已知角终边上任意一点P的坐标x,y，它与原点的距离rr



x2y20，就



的值。此题中由单位圆易知P2的纵坐标及距离r的值，简化了、tan可求cos、sin

解题的难度。掌握三角函数的定义，能熟练用于求值、化简、证明。 . 二、审题性错误

学生在审题时常会出现忽略条件信息、误解题意、遗漏条件等错误，看似是小毛病，

却很容易成习惯，更应格外引起重视。

x2y2

1表示的曲线是双曲线}，B{x|yx21}，【例】已知集合方程

kk3

则AB .

k0

错解 令 k3，即A3,，又yx210，即B0,，

k30AB3,.

错因 审题时忽略了条件信息，没有抓住集合的代表元素和双曲线标准方程中字母的

限制条件。

正解 由不等式k(k3)0得k0，或k3，即A,03,， 又

x210得

x1,或x1，则集合

B,11,，

AB,13,.

反思 本题考察集合的交运算、双曲线的标准方程及函数的定义域。在解答集合问题时，要注意描述法中的代表元素，而双曲线方程中分母的字母取值范围要摆脱标准方程形式上的束缚，回归概念，弄清字母取值的本真。

针对本题目，反思时可以把圆锥曲线的标准方程及使用条件系统的回顾一遍，不但能巩固知识、补漏洞，还能将知识系统化，同类型的或者易犯此类错误的归结于此处。

三、解题方法不当

解题方法是数学思想方法在实际问题的灵活运用，解题方法的选择是否恰当，是客观反映学生数学素养的具体体现，许多考生由于解法选取不当耽误了解题时间，有的甚至出现较大失误。

【例】已知点A0,2，抛物线y2pxp0的焦点为F，准线为l，线段FA交抛

2

物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AMMF，则p .

错因 解法不当，计算量大。

ypp

正解 解法一 设M(,y0)，B(0,y0)，F(,0)，因为AMMF，则有

222pkAMkMF1，整理得4y02y0p2①，

lAF:y

2

2

4

xp

2y

点B在AF上，有y002②，将①②联立求得 2

py01，p2.

解法二 由抛物线定义知BFBM,即BMFBFM2

又AMBBMFMAFBFM,AMBMAF,BMAB,故

p

ABBF，B为AF的中点，即B,1,代入y22pxp0，得p2.

4

反思 考察了函数与方程的思想及抛物线的定义。解法一是基本的解题办法，通过已知条件建立等价关系式再解方程组；解法二通过观察，可以快速判断出B为AF的中点，比解法一节省了大量的计算时间，又避免了计算上的错误，很适合填空题。要灵活运用数学思想方法解题，探究一题多解。

在考试中，解题过程的繁琐，不仅会造成错解，更是“潜在的失分”，即使没有做错，也由于耽误了时间，影响其它题的得分，因此必须重视解法的选择，合理选取简捷方法。学生们在解决问题时要注意多探究解题方法，拓展思维空间。

四、思维定式导致的错误

思考不严密，主观判断不准确，思维定式，错用结论等都是常见的思维性错误，下面通过思维定式致错这个例子来进行反思。

【例】函数fxlnxx的单调增区间为 . 错解 令f(x)

'

1

10，解得x1，或x0，故该函数的单调增区间为x

,1和0,.

错因 没有考虑函数的定义域

正解 函数fx定义域为0,，令f(x)

'

1

10，解得x1，或x0，则x

该函数的单调增区间为0,.

反思 考察导数的应用——求函数的单调区间，要在函数定义域内确定单调区间。 本题目是用导数求单调区间，很简单的问题，大部分学生的回答都是“求导，令导数大于零解得”，这就是思维定式的体现，在学生的思维中完全忽略了定义域。在这里，学生要有一个知识的联系，在判断函数的奇偶性时，