利用契比雪夫不等式证明，能以

篇一:《切比雪夫不等式证明》

切比雪夫不等式证明一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此

1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.

解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

2

1

1000=×==npEX,

250)

2

答题完毕，祝你开心!

1

1(

2

1

1000)1(= ××= =pnpDX,

而所求的概率为

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP

}100{< =EXXP

975.0

100

1

2

= ≥

DX

.

二、

切比雪夫(Chebyshev)不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4

与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9

与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16

……

与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。 设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t > 0， 一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有{利用契比雪夫不等式证明，能以}.

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

概率论说法

设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，

改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。

当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：

[1]

证明

定义，设为集的指标函数，有

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有Pr(|Y| le opeatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X ? μ)2及a = (kσ)2。

亦可从概率论的原理和定义开始证明。

篇二:《2016考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析》

2016考研数学切比雪夫不等式证明及题型分析

在考研数学概率论与数理统计中，切比雪夫不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其它一些十分有用的结论或重要的定理，如切比雪夫大数定律等，然而有些同学对这个不等式不是很理解，也不太会利用该不等式去解决相关问题，另外，很多资料上也没有对该不等式进行完整的分析或证明，为此，文都网校的蔡老师在这里对比雪夫不等式及其典型例题做些分析总结，供各位考研的朋友和其它学习的同学参考。

从上面的分析我们看到，利用切比雪夫不等式可以对随机变量在其均值附近的对称区间内取值的概率进行估计，它也说明了方差的基本特性，即随机变量的方差越小，随

机变量取值越集中，方差越大，则取值越分散，不论对于什么随机变量，它在区间

内取值的概率基本都是约90%。以上分析希望对大家理解和应用切比

雪夫不等式有所帮助，最后预祝各位考生2016考研成功。

篇三:《切比雪夫不等式的证明(离散型随机变量)》

设随机变量X有数学期望及方差，则对任何正数，下列不等式成立 2

2

PXE(X)2 

证明：设X是离散型随机变量，则事件XE(X)表示随机变量X取得一切满足不等式xiE(X)的可能值xi。设pi表示事件Xxi的概率，按概率加法定理得

PXE(X)

xiE(X)pi

这里和式是对一切满足不等式xiE(X)的xi求和。由于xiE(X)，即xiE(X)22xiE(X)，所以有221。

2xiE(X)又因为上面和式中的每一项都是正数，如果分别乘以2，则和式的值将增大。

于是得到

PXE(X)

xiE(X)pixiE(X)xiE(X)22pi1

2xiE(X)xiE(X)2pi

因为和式中的每一项都是非负数，所以如果扩大求和范围至随机变量X的一切可能值xi求和，则只能增大和式的值。因此

PXE(X)1

2xE(X)i

i2pi

上式和式是对X的一切可能值xi求和，也就是方差的表达式。所以，

2

PXE(X)2 

篇四:《概统第4章习题答案》

概统

1. 若DX0.004,利用切比雪夫不等式给出概率P(|XEX|0.2)的上界或下界. 解 P(|XEX|0.2)DX/0.220.004/0.040.1,

P(|XEX|0.2)1P(|XEX|0.2)10.10.9.

2. 设DX0.009,0,P(|XEX|)0.9,利用切比雪夫不等式给出的上界或下界. 解 DX/2P(|XEX|)1P(|XEX|)10.90.1,

2

DX/0.10.009/0.10.09, 0.3.

3. 试用切比雪夫不等式证明:能以大于0.97的概率断言,抛1000次分币,正面出现次数在400到600之间.

解 设X为出现的正面数,则X~B(1000,1/2),

EX1000(1/2)500, DX1000(1/2)(1/2)250.

P(400X600)P(|X500|100)P(|X500|100) 1P(|X500|100)1DX/10021250/100000.9750.97.

4. 设随机变量X的期望存在,f(x)为正单调上升函数,且Ef(XEX)存在.证明:0,

P(|XEX|)Ef(|XEX|)/f().

证 由于f(x)单调上升,故

{|XEX|}{f(|XEX|f()}.

由于f(x)是正函数,故

P{|XEX|}P{f(|XEX|)f()}Ef(|XEX|)/f().

5. 设随机变量X的密度为p(x)

x

m

m!

e

x

I(0,)(x)

.试用切比雪夫不等式证明{利用契比雪夫不等式证明，能以}.

mm1

P{0X2(m1)}





.

证1 EX



xp(x)dx

0

x

m1

m!

2

e

x

dx



(m2)

m!x

m2



(m1)!m!{利用契比雪夫不等式证明，能以}.

m1,

(m2)!m!

2

EX

2







xp(x)dx

2

0

m!

2

e

x

dx

(m3)m!

m(m1)

DXEX

(EX)(m1)(m2)(m1)m1,

P{0X2(m1)}P{|X(m1)|m1}P{|XEX|m1}

1P{|XEX|m1}1DX/(m1)21(m1)/(m1)2m/(m1). 证2 p(x)

x

m

m!

e

x

I(0,)(x)

1(m1)

x

(m1)1x

e

I(0,)(x),故 m1, DX

m11

2

X~(m1,1), EX{利用契比雪夫不等式证明，能以}.

m11

m1.

P{0X2(m1)}P{|X(m1)|m1}P{|XEX|m1}

1P{|XEX|m1}1DX/(m1)21(m1)/(m1)2m/(m1).

6. 重复抛分币100次,设每次出现正面的概率为1/2.应用中心极限定理求正面出现次数少于60且大于50的概率.

解1 设正面出现的次数为X,则X~B(100,1/2),EX50,DX25. 根据中心极限定理

, Z

X505

近似服从标准正态分布,所求的概率是

X5060505050

P(50X60)P

555

P(0Z2)(2)(0)0.97720.50.4772. 解2 设正面出现的次数为X,则X~B(100,1/2),EX50,DX25. 根据中心极限定理

,Z

X505

近似服从标准正态分布,所求的概率是

X5059.55050.550

P(50.5X59.5)P

555

P(0.1z1.95)(1.9)(0.1)0.97130.53980.4315.

7. 现有一批种子,其中良种占1/6,在其中任选6000颗,试问这批种子中,良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？

解 设这6000颗种子中,良种数为X,则X~B(6000,1/6),EX1000,DX5000/6,良种数所占的比例为X/6000.

根据中心极限定理

,Z



.所求的概率是{利用契比雪夫不等式证明，能以}.

X1X1000

P0.01P0.01P 600066000 P(|Z|2.078)2(2.078)120.981210.9624.

8. 现有一批种子,其中良种占1/6;我们有99%的把握断定,在6000颗种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？

解 设这6000颗种子中,良种数为X,则X~B(6000,1/6),EX1000,DX5000/6,良种数所占的比例为X/6000.

根据中心极限定理{利用契比雪夫不等式证明，能以}.

,Z



.设题述的差的绝对值小于c,则

X1X1000

0.99PcPcP

600066000 P|Z|





21.

由此得0.995,

x6000

2.57,c0.0124.

16

这时相应的良种x满足不等式

c0.0124

,故

x(100060000.0124,100060000.0124),

即良种数x数落在区间[926,1074]内.