利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97

篇一:《切比雪夫不等式证明》

切比雪夫不等式证明一、

试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。

分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此

1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布.

解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

2

1

1000=×==npEX,

250)

2

答题完毕，祝你开心!

1

1(

2

1

1000)1(= ××= =pnpDX,

而所求的概率为

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP

}100{< =EXXP

975.0

100

1

2

= ≥

DX

.

二、

切比雪夫(Chebyshev)不等式

对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,

恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。

同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。

切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4

与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9

与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16

……

与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分(与平均相差3个标准差以上)的人，数目不多于4个(=36*1/9)。 设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t > 0， 一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

概率论说法

设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k>0，

改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。

当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：

[1]

证明

定义，设为集的指标函数，有

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有Pr(|Y| le opeatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X ? μ)2及a = (kσ)2。

亦可从概率论的原理和定义开始证明。

篇二:《概统第4章习题答案》

概统

1. 若DX0.004,利用切比雪夫不等式给出概率P(|XEX|0.2)的上界或下界. 解 P(|XEX|0.2)DX/0.220.004/0.040.1,

P(|XEX|0.2)1P(|XEX|0.2)10.10.9.

2. 设DX0.009,0,P(|XEX|)0.9,利用切比雪夫不等式给出的上界或下界. 解 DX/2P(|XEX|)1P(|XEX|)10.90.1,

2

DX/0.10.009/0.10.09, 0.3.

3. 试用切比雪夫不等式证明:能以大于0.97的概率断言,抛1000次分币,正面出现次数在400到600之间.

解 设X为出现的正面数,则X~B(1000,1/2),

EX1000(1/2)500, DX1000(1/2)(1/2)250.

P(400X600)P(|X500|100)P(|X500|100) 1P(|X500|100)1DX/10021250/100000.9750.97.

4. 设随机变量X的期望存在,f(x)为正单调上升函数,且Ef(XEX)存在.证明:0,

P(|XEX|)Ef(|XEX|)/f().

证 由于f(x)单调上升,故

{|XEX|}{f(|XEX|f()}.

由于f(x)是正函数,故

P{|XEX|}P{f(|XEX|)f()}Ef(|XEX|)/f().

5. 设随机变量X的密度为p(x)

x

m

m!

e

x

I(0,)(x)

.试用切比雪夫不等式证明

mm1

P{0X2(m1)}





.

证1 EX



xp(x)dx

0

x

m1

m!

2

e

x

dx



(m2)

m!x

m2



(m1)!m!

m1,

(m2)!m!

2

EX

2







xp(x)dx

2

0

m!

2

e

x

dx

(m3)m!

m(m1)

DXEX

(EX)(m1)(m2)(m1)m1,

P{0X2(m1)}P{|X(m1)|m1}P{|XEX|m1}

1P{|XEX|m1}1DX/(m1)21(m1)/(m1)2m/(m1). 证2 p(x)

x

m

m!

e

x

I(0,)(x)

1(m1)

x

(m1)1x

e

I(0,)(x),故 m1, DX

m11

2

X~(m1,1), EX

m11

m1.

P{0X2(m1)}P{|X(m1)|m1}P{|XEX|m1}

1P{|XEX|m1}1DX/(m1)21(m1)/(m1)2m/(m1).{利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97}.

6. 重复抛分币100次,设每次出现正面的概率为1/2.应用中心极限定理求正面出现次数少于60且大于50的概率.

解1 设正面出现的次数为X,则X~B(100,1/2),EX50,DX25. 根据中心极限定理

, Z

X505

近似服从标准正态分布,所求的概率是

X5060505050

P(50X60)P

555

P(0Z2)(2)(0)0.97720.50.4772. 解2 设正面出现的次数为X,则X~B(100,1/2),EX50,DX25. 根据中心极限定理

,Z

X505

近似服从标准正态分布,所求的概率是

X5059.55050.550

P(50.5X59.5)P

555

P(0.1z1.95)(1.9)(0.1)0.97130.53980.4315.

7. 现有一批种子,其中良种占1/6,在其中任选6000颗,试问这批种子中,良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？

解 设这6000颗种子中,良种数为X,则X~B(6000,1/6),EX1000,DX5000/6,良种数所占的比例为X/6000.

根据中心极限定理

,Z



.所求的概率是

X1X1000{利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97}.

P0.01P0.01P 600066000 P(|Z|2.078)2(2.078)120.981210.9624.

8. 现有一批种子,其中良种占1/6;我们有99%的把握断定,在6000颗种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？

解 设这6000颗种子中,良种数为X,则X~B(6000,1/6),EX1000,DX5000/6,良种数所占的比例为X/6000.

根据中心极限定理

,Z



.设题述的差的绝对值小于c,则

X1X1000

0.99PcPcP

600066000 P|Z|





21.

由此得0.995,

x6000

2.57,c0.0124.

16

这时相应的良种x满足不等式

c0.0124

,故

x(100060000.0124,100060000.0124),

即良种数x数落在区间[926,1074]内.

篇三:《第四章 大数定律与中心极限定理答案》

第四章 大数定律与中心极限定理答案

一、单项选择

1. 设(x)为标准正态分布函数，Xi

1,事件A发生；

100i1

i1,2,,100，且

0,事件A不发生，

P(A)0.8，X1,X2,,X100相互独立。令YXi，则由中心极限定理知Y的分

布函数F(y)近似于（ ）

y80

（A）(y) （B）Ф() （C）(16y80) （D）(4y80)

4

答案：D 二、填空

1. 设X的期望和方差分别为

和2，则由切比雪夫不等式可估计

P(X2)。

答案：

3 4

2．设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有P{|XY|6}________． 答案：

1 12{利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97}.

3． 已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在6到18之间的概率为________．与3到21之间

解 由题意得，E12,D232, 由切比雪夫不等式得

P{618}P{126}D3231212

466

P{618}

3

4

4． 已知随机变量的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计落在3到21之间的概率为________．

解 由题意得，E12,D232, 由切比雪夫不等式得

P{321}P{129}D3281212

999{利用切比雪夫不等式证明能以大于0.97}.

P{321}

8

9

5．假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为________．

解 设表示在200个新生婴儿中男孩的个数, 则~B(n,p), 其中n200, p0.5, 则

E()np2000.5100,

D()np(1p)2000.5(10.5)50.

由切比雪夫不等式得

P{80120}P{10020}1

6．用切比雪夫不等式估计下题的概率: 废品率为0.03, 求1000个产品中废品多

D507

12022028

于20个且少于40个的概率为________.

答案：0.709

7．用切比雪夫不等式估计下题的概率:

求200个新生婴儿中, 男孩多于80个且少于120个的概率为________. (假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.)

答案： 0.875

8． 设随机变量X~U0,1，由切比雪夫不等式可得P(X

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