初中列方程的经典题型

篇一:《中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总》

一元二次方程应用题经典题型汇总

一、增长率问题

例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

解: 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6， 即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.

答 这两个月的平均增长率是10%.

说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.

二、商品定价

例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

解这个方程，得a1＝25，a2＝31.

因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.

答 需要进货100件，每件商品应定价25元.

说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

三、储蓄问题

例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

解 设第一次存款时的年利率为x.

则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.

解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.

答 第一次存款的年利率约是2.04%.

说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.

四、趣味问题

例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得1(x+0.1+x+1.4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0. 2

解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.

所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.

答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.

五、古诗问题

例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.

则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6. 当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.

答 周瑜去世的年龄为36岁.

说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.

六、象棋比赛

例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－

1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为1n(n－1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分.显然(n－1)与n为相2

邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.

答 参加比赛的选手共有45人.

说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.

七、情景对话

例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.

则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000.

整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.

当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；

当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意.

答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.

八、等积变形

例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.

解 都能.（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝图1 2×18×15，即x2－34x+180＝0， 3

解这个方程，得x

＝34，即x≈6.6. 2

（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝ ×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.

说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.

BQ

CP

图4 图2 九、动态几何问题 图3

例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点

Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解 因为∠C＝90°，所以AB10（cm）.

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm. 则根据题意，得

＝4.

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

则根据题意，得1·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x22111(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0. 222

由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.

说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.

篇二:《初中数学运算能力和方程应用题经典试题》

初中数学计算能力练习

同底数幂的乘法aaa

m

n

mn

同底数幂的除法aaa

mnmn

零指数幂a1

p

幂的乘方(am)namn 积的乘方(ab)nanbn 负指数幂a

1 pa

平方差公式：(ab)(a-b)a2b2 完全平方公式：(ab)2a22abb2 一、整式化简求值

1.下列运算正确的是（ ）

(A)xxx (B)(xy)2xy2 (C)(x2)3x6 (D)xxx 2.下列运算正确的是( ) A．aaa

3

22

2

2

2

2

2

4

B．(ab)3ab3 C．(a2)3a6 D．a

10

a2a5

3．计算2xx的结果是（ ）

565

A．2x B．2x C．2x D．x 4．下列计算正确的是( ). A.aaa B.a2

2

3

6



3

a8 C.a6a2a3 D.ab3



2

a2b6

5．下列运算中正确的是（ ）

A．3a2a5a2 B．(2ab)(2ab)4a2b2 C．2a2a32a6 D．(2ab)24a2b2 6.下列计算结果正确的是（ ）

A．(a)a

32

9

B．aaa

236

C．()

12

1

1

222 D．(cos60)01

2

7．下列运算正确的是（ ）

A．(3xy2)2＝6x2y4 B．2x21 C．(－x)7÷(－x)2＝－x5 D．(6xy2)2÷3xy＝2xy3

4x8．若mn6，且mn3，则mn 9．若xy3，xy1，则x2y2 10.计算：(x2)(x2)x(3x). 11.化简：(13a)22(13a).

12.化简：mnmnmn22m2．

322

13.先化简，再求值：(ab)(ab)(4ab8ab)4ab 其中a2,b1 2

14.先化简，再求值:(x1)(x1)x(x1)，其中x2.

2

2

2

15.已知x2x1，求(x1)(3x1)(x1)的值

2

16.已知y2x1，求代数式(y1)(y4x)的值．

- 1 -

22

二、因式分解

1、axaya 2、 3mx6mx 3、4a10ab 4、x2yxy2 5、12xyz9x2y2 6、x(ab)y(ab) 7、(yx)3y(yx)2 8、18b(ab)212(ab)3 9、125b 10、x1 11、2x4x2 12、x4x4 13、x5x 14、x3y2x2y2xy3

22

2

2

4

2

2

15、3x6x3 16、25(xy)29(xy)2 三、分式化简求值

2

a1a1a21a2abb

22

2

a 2、 aaa 3、 a2a1a1 1、a

a29a2b211



4、a3a3 5、x1x1 6、 abab

a2mn2mn9a3

2 2

mnmnmna33aa7、 8、

1a24a42x25y10y

)9、2 10、(12

a1a2a3y6x21x2a2a21

(a1)211.，其中a2。 a1a2a1ab2abb2

(a)，其中a2011,b2010 12. aa{初中列方程的经典题型}.

1x24

)13．(1，其中x3。 x3x3

x2312

2)14．(，其中x满足x2x30 x1x1

x3x21

x)(1)15．(，再选择一个合适的x的值代入求值。 x11x2x1

- 2 -

四、根式计算

1

、 2、937548 3、 340

212 4、(74)(23)2 510

1

(12)2 6、454542 2

5、4(37)0

7、(5486274)3 8

、9、9 的算术平方根是；(3)2的算术平方根；3的平方根是10、0的立方根是；-8的立方根是；的立方根是

五、解分式方程

2x4

2x0

1 2x1、 2、

x1

32xx1 4、

xx1x3x13、

5x30xx5、 6、

x24

21

x2x4

x33x11

x1x27、2x4x22 8、x1

xx411

0

x1x1x5x69、 10、

x2xx331 1 12、

x13x32x11、x2

746xx1

2222

x13、x1 14、xxxxx1

15、

1x15x233 16、1x22xx(x1)x1

- 3 -

六、解一元二次方程

1、x24x30 2、 x8x90 3、x4x5 4、x3x2 5、3x2x0 6、(x4)25(x4)

2

2

22

7、x322xx30 8、(5x1)23(5x1)0

9、(x3)22(x3) 1011、(x2)216 13、(x1)(x3)8

七、解二元一次方程组

1、

xy3xy1 3、

4x3y54x6y14 5、

5x4y62x3y1

7、3x5z6,x4z15; xy9、437, 23x12y14;

、(x1)(x3)12 12、（x3)216 14、(x3)(x2)120 2、{初中列方程的经典题型}.

4x3y0

12x3y8

4、

4xy5

3x2y1

6、

3x2y7

2x3y17

8、mn2,

2m3n14;

2x13y2 10、54

2,3x135

y240.- 4 -

八、解不等式及不等式组

1、2(2x－3)＜5(x－1)． 2、 10－3(x＋6)≤1． 3、

xx2x1x51 4、  2332

5、

2x10,

6、 

3x0



4x0.

x84x17、x5 8

2x4x9、x24x1 x13,11、2x6 13、52x16 

x1015、x24x1



4x7711

2x0

、3x21 

2x3x1 10、2

x≥x-3 2x11,

12、

x２≤3. 14、2x1x54

3

2

x.

x3(x2)≥4，

 12x16、

3x1.- 5 -

篇三:《初一年级数学经典例题》

数学天地：

初一年级数学核心题目赏析

有理数及其运算篇

【核心提示】

有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.

【核心例题】

1111...... 12233420062007

分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆例1计算：成111111，可利用通项，把每一项都做如此变形，问题1212nn1nn1

会迎刃而解.

11111111（）（）（）......() 解 原式=12233420062007

1111111 =1...... 2233420062007

1 =1 2007

2006 = 2007

例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点

分别为A、B、C(如右图).化简aabcb. 分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，

但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0.

解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0

所以，aabcb= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c

11111例3 计算：1

11...11 100999832

分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.

999897211......= 解 原式= 100999832100

例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220.

分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑

2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.

解 原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2）

=2-22-23-24-……-218+219

=2-22-23-24-……-217+218（-1+2）

=2-22-23-24-……-217+218

=……

=2-22+23

=6

【核心练习】

1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：

111的值. ......a2006b2006aba1b1 （提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.） 2、代数式abab的所有可能的值有（ ）个（2、3、4、无数个） abab

【参考答案】

1、

2007 2、3 2008

字母表示数篇

【核心提示】

用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当

变形，采用整体代入法或特殊值法.

【典型例题】

例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____

分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方

5法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得x,把x、y的值代入3

282x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不3

合适的.

5解 由3x-6y-5=0，得x2y 3

528所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=26= 33

例2已知代数式xnx(n1)1 ，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=-1时，代数式的值是 .

分析 当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.

解 当x=1时，

xnx(n1)1=1n1(n1)1=3

当x=-1时，

xnx(n1)1=(1)n(1)(n1)1=1

例3 152=225=100×1（1+1）+25， 252=625=100×2（2+1）+25

352=1225=100×3（3+1）+25， 452=2025=100×4（4+1）+25„„

752=5625= ，852=7225=

（1）找规律，把横线填完整；

（2）请用字母表示规律;

（3）请计算20052的值.

分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.

解 (1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25

(2)(10n+5)2=100×n（n+1）+25

(3) 20052=100×200（200+1）+25=4020025

例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S表示三角形的个数.

（1）当n=4时，S= ，

（2）请按此规律写出用n表示S的公式.

分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.

解 (1)S=13

(2)可列表找规律：

所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)

【核心练习】

1、观察下面一列数，探究其中的规律：

11111—1，，，，， 23456

①填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；

②第2008个数是什么？

③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.

2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,„„请将你找出的规律用公式表示出来:

【参考答案】

1111，，;②;③0. 13120081112

22、1+n×(n+2) = (n+1) 1、①

平面图形及其位置关系篇

【核心提示】

平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.

【典型例题】

例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为__