证明线线平行

证明线线平行(一)

证明线线平行(二)

证明线线平行(三)

线与线平行的证明

一。定义：同在一个平面内，不相交的两条直线平行。

二。利用几何图形：三角形中中位线、边成比例，平行四边形等 三。公理四，平行于同一条直线的两条直线。 四。线面平行的性质 五。面面平行的性质。

一例1.设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b. 求证：a∥b∥c.

二例2. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EABF∶FD，求证：EF//平面PBC．

答案：证明：连结AF并延长交

于．连结，

BFMFPEBFPEMF

，又由已知，∴． FDFAEAFDEAFA

由平面几何知识可得EF//PM，又EFPBC，PM平面PBC， ∴EF//平面PBC

． ∵AD//BC，∴

E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求二。例3. 如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，

证：EF//平面BB1D1D．

答案：证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB，

11

∵OF 平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，

22

∴OF 平行且等于BE，则OFEB为平行四边形，

∴EF//BO．

∵EF平面BB1D1D，BO平面BB1D1D， ∴EF//平面BB1D1D．

三、四第1题. 已知a，m，b，且m//，求证：a//b． 答案：证明：

m



m//m//aa//b．

a同理m//b

第9题. 如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．

答案：解：如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，则截面MAC即为所求作的截面．

∵MO为△D1DB的中位线，∴D1B//MO．

∵D1B平面MAC，MO平面MAC，

∴D1B//平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面．

第20题. 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME ∵M，N分别是AB，PC的中点，

∴NE//PD，ME//AD，

可证明NE//平面PAD，ME//平面PAD． 又NEMEE，

∴平面MNE//平面PAD，

又MN平面MNE，∴MN//平面PAD．

第7题. 如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点， 求证：PD//平面MAC．

答案：证明：连接AC、BD交点为O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，

∴PD//MO．

∵PD平面MAC，MO平面MAC，∴PD//

平面MAC．

证明线线平行(四)

证明线线平行的方法：

1.垂直于同一平面的两条直线平行

2.平行于同一直线的两条直线平行

3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行

4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行

5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

证明线面平行的方法：

1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。

证明面面平行的方法： 1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。

3.垂直与同一直线的两个平面平行。

4.利用向量法证明。

证明线线垂直的方法：

1.定义法：两直线夹角90度

2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线

4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。

证明线面垂直的方法：

1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。

2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。

4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平

面。

5.

1来证。

6.

证明面面垂直的方法：

1.定义：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角。

2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。

12.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3A1A2 (λ∈R)，

且A1A4A1A2(μ∈R)，1

1

o),D(d，2,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,已知点C(c，

O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是

(A)C可能是线段AB的中点

(B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上

(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】D

【解析】由A1，A2，A3，A4在1A3A1A2 (λ∈R)，A1A4A1A2(μ∈R)知:四点A

同一条直线上,

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且

如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1

中，D1D平面ABCD，底面112, 故选D. cd

ABCD是平行四边形，AB=2AD，

AD=A1B1，BAD=60°

（Ⅰ）证明：AA1BD；

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD.

【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD，所以设

AD=a,则AB=2a,又因为BAD=60°,所以在ABD中,由余弦定理得：BD2(2a)2a22a2acos603a2,所以

,所以AD2BD2AB2,故BD⊥AD,又因为

D1D平面ABCD，所以D1DBD,又因为ADD1DD, 所以BD平面ADD1A1,故AA1BD.

ABCD是平行四边形得:O是AC的中点,由四(2)连结AC,设ACBD=0, 连结AO1,由底面

棱台ABCDA1B1C1D1知:平面ABCD∥平面A1B1C1D1,因为这两个平面同时都和平面

BC=a, 

ABC=120，ACACAC11相交,交线分别为AC、AC11，故AC11，又因为AB=2a,

所以可由余弦定理计算得

，又因为A1B1=2a, B1C1

=a, A1B1C1=120，所以2

可由余弦定理计算得A1C1

=a，所以A1C1∥OC且A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，2

所以CC1∥A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.

20.（本小题满分12分）

等比数列an中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.

（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）若数列bn满足：bnan(1)lnan，求数列bn的前2n项和S2n.

【解析】（Ⅰ）由题意知a12,a26,a318,因为an是等比数列,所以公比为3,所以数列an的通项公式an23n1.

（Ⅱ）因为bnan(1)lnan=23n1(1)ln23n1, 所以Snb1b2

=bn =(a1a2an)(lna1lna2

3n1)= lnan)2(13n)13-lna1a2an3n1-ln(2n13132

31-ln(23nnn(n1)2),所以S2n=31-ln(232n2n2n(2n1)2)=9n1-2nln2(2n2n)ln3.

15.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足(ABtOC)·OC=0，求t的值.

16. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900.

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离.

19.（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列

为d的等差数列.

（1）求数列an的通项公式（用n,d表示）

（2）设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k，不等式S是公差n

9SmSncSk都成立，求证：c 的最大值为.

2

证明线线平行(五)

证明线线平行(六)

证明线线平行(七)

证明线线平行主要的方法：

1、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1求证： AC1//平面BDE。

D1

C1

2、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角

线的交点.

求证：(１) C1O∥面AB1D1

D

C

DA1

D

BBC1

C

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、

AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG. 引出：

4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB600且边长为a的菱形，侧面

PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （2）求证：ADPB；

5、（2012年佛山一模）

如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，

BCA90， PBBCCA4，E为PC的中点， M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP. （1）求证：BE平面PAC； （2）求证：CM//平面BEF； （3）求三棱锥FABE的体积. 6、（2012年广州一模 文）如图，在三棱锥PABC中

，

ABBC平面PAC平面ABC，PDAC于点D，

AD1，CD3，PD2．

（1）求三棱锥PABC的体积； （2）证明△PBC为直角三角形．

A

D图5

8、（2011深圳调研）如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，

平面SAD平面ABCD，M是线段ADAB//CD，CD3AB，

上一点，AMAB，DMDC，SMAD． （1）证明：BM平面SMC；

（2）设三棱锥CSBM与四棱锥SABCD的体积分别为V1与V

V，求1的值．

V

A BM

C

9．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知A45,C90,ADC105,ABBD,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；

A

（2）设CDa，求三棱锥A－BFE的体积．

F

BD

B

D C乙

甲

10、（2012深圳一模）如图，直角梯形