第一篇、柯西收敛准则的证明_高俊芳
柯西准则证明极限lim存在
柯西收敛准则的证明
高俊芳，赵临龙
（安康学院数学与应用数学研究所，陕西 安康 725000）
摘 要：在运用实数完备性6个基本定理的等价性中，文章给出了由其他5个定理来证明柯西收敛准则的方法，充分体现了实数完备性基本定理与柯西收敛准则的统一性。 关键词：柯西收敛准则；确界；聚点；单调有界；有限覆盖；区间套
中图分类号：O174.1 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2012）14－0003－02
柯西准则在数学分析中应用极为广泛，是数学分析的基础理论。文［1］用两种证明方法，即用区间套定理和致密性定理证明柯西收敛准则。在大多数研究成果中，都链条式地论证了实
［2～4］
数系的基本定理，并最终形成一个论证环。柯西准则的证明是重点也是难点，尤其是其充分性。本文重在讨论柯西收敛准则充分性的证明，其必要性较为简便，本文只给出一种证法。
又由区间套定理，存在数A是所有区间［bn，cn］的公共点，
ak≤ak≤ ∴bn≤A≤an，而对任意正整数n，当k≥n时，bn=infk≥n
supak=cn。
k≥n
＊
于是| A－ak |≤（cn－bn），由（1）得当n＞N时，an－
infak＝bn≤cn＝supak≤an＋
k≥n
k≥n
ε
3
≤
1 相关定理
定理1（柯西收敛准则）：数列{an}收敛的充要条件是：对
任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m＞N时，有| an－am |＜ε。
定理2（确界定理）：非空有界数集必存在确界。 定理3（单调有界定理）：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
定理4（聚点定理）：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
定理5（区间套定理）：若 {［an，bn］} 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ζ，使ζ∈［an，bn］，n＝1，2…，即an≤ζ≤bn。
定理6（有限覆盖定理）：设H为闭区间［a，b］的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆［a，b］。
。
3
εε
于是，当n＞N时，cn－bn≤+<ε，∴当k＞N时，A－
33
ak=A。 ak＜ε，即有limk→∞第二，（定理3→定理1）先证明柯西数列{an}有界，取
ε＝1，因为{an}柯西数列，所以存在某个正整数N，当n＞N时，有|an−aN+1|<1，即当n＞N时，| an |≤| aN＋1 |＋1，即{an}有界。
不妨设{an}≤［a，b］，即a≤an≤b，我们用如下方法取得{an}的一个单调子列{an}：①取{ank}∈{an}，使［a，ank］或［ank，
k
b］中含有无穷多的［a，b］中的项；②在［a，an］或［an，b］
kk
中取得an＋∈{an}且满足条件①；③取项时方向一致，要么由
k1
a→b，要么由b→a。
由数列{an}性质可知，以上3点可以做到。
这样，取出一个数列{an}⊆{an}且{an}是一个单调有界数
kk
列，则它必有极限，设为a，下面我们证明{an}收敛于a：
ε
∀ε>0，∃K>0，当m，n，k＞K时，同时有|an−am|<
2
ε
。 柯西条件），|ank−a|<（由limank=a）
k→∞2
∴当取m＝nk（k＞K）时，得| an－a |≤| an－ank |＋| ank－a | εε
<+=ε。∴证得limank=a。
k→∞22
第三，（定理4→定理1）{an}满足柯西条件，先证明{an}有界点列，取ε＝1，则∃N∈N+，对一切正整数P都有ρ（aN，aN＋
＜1，令M＝max{ρ（ai，aj+P）}（i＝1，2，…，n），∴d（{an}）P）
＜M＋1，即证得{an}有界。
由于{an}有界，由聚点定理推论知{an}存在收敛子列{an}，
k
设limank=a，下证liman=a。
k→∞
k→∞
ε
2 柯西收敛准则必要性的证明
易知，{an}有极限时（设极限为a），{an}一定是一个柯西
ε
存在正整数N，当n，m＞N时，有|an−a|<， 数列。因为 ∀ε>0，
2
ε
|am−a|<。
2
∴| an－am |≤| an－a |＋| am－a |＜ε，这就证明了{an}是一个柯西数列。
3 柯西收敛准则充分性的证明
第一，（定理2→定理1）{an}是柯西数列，则易证{an}是有 存在正整数N＞0，当n＞N时，有|an−aN|<界数列：∀ε>0，即| an |≤| aN |＋
ε
ε
3
3
，
，取ε为固定值，则证得{an}有界。
|an−aN|<得到aN−<an<aN+ （1） 又由当n＞N时，
333
ai∈{an}（i＝1，2，…，n）有b{an}有界则存在b，c，s.t∀ε
≤ai≤c（i＝1，2，…，n），即b与c分别为数列中所有数的上界和下界，由确界原理知，其必有确界，对任意正整数n，设 bn=infak,cn=supak，∴bn≤cn。
k≥n
k≥n
εεε
由柯西条件与收敛定义，∀ε>0，∃N∈N+，当k＞n＞N时，
εε
有ρ（an，an＋k）<，ρ（ank，a）<。
22
∀P∈N+，取n＋P＝nk，则nk＞k＞n，从而ρ（an，a）≤
εε
ρ（an，an＋k）＋ρ（ank，a）<+=ε，故有liman=a。
2
2
k→∞
＊ 资助课题：安康学院大学生科技创新项目（编号：2009AKXYDXS06）；安康学院重点扶持学科建设项目（编号：AZXZ0107）
－ 3 －
浅谈连拱隧道动态施工数值模拟分析
王 舒
（贵州民族大学建筑工程学院，贵州 贵阳 550025）
摘 要：近年来，随着我国社会经济的发展和技术条件的不断进步，尤其是在我国西部大开发战略的进一步实施，我国高等级公路呈现出飞速发展的局面，公路隧道数量日益增多。在山区狭窄地带等特殊地形条件下，采用分离式隧道线路较为困难且造价高昂，于是产生了双连拱隧道形式。文章以腰子坡连拱隧道为研究背景，通过运用大型通用有限元软件ANSYS，建立了隧道穿越V级I型围岩地段的二维弹塑性有限元模型，进行施工力学平面的数值模拟，得到隧道中墙应力、围岩应力和位移、拱顶下沉、地表沉降值以及支护、衬砌的内力值以及上下台阶开挖方式对这些值的影响。 关键词：公路；连拱隧道；施工力学；数值模拟
中图分类号：U456 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2012）14－0004－03
随着我国西部大开发进一步向纵深发展，高速公路面临前所未有的发展机遇，受地质条件和场地条件的限制，特别是桥隧连接线困难，连拱隧道这一新型的隧道结构形式应运而生，并得到了广泛应用，其原因是，因为它在土地价格昂贵，路线分离困难等方面具有优势。但由于山区的地质条件复杂和连拱隧道结构形式的复杂性，且连拱隧道高跨比很小（一般H/B＜0.40），比较扁坦，其结构受力复杂，施工工艺复杂，且对施工工艺和程序有严格要求，若结构分析不合理或施工方法与工艺不当将极有可能造成连拱失败、大面积跨塌等危害，尤其在复杂条件下，轻则可能造成进度缓慢，影响全线工程工期，大量增加投资，重则可能造成隧道报废而需另选线路；同时在修建连拱隧道时辅助项目较多，临时工程较大，其成本是分离式隧道的3倍左右，这样导致修建连拱隧道偏少，开展相关的理论研究也 较少，因而对连拱隧道的结构分析理论、施工工艺控制以及动态施工力学的研究也很不完善。本文以腰子坡隧道为依托工程，
第四，（定理5→定理1）见文［1］162页。 第五，（定理6→定理1）∃N∈N+，∀n>N有|an−aN+1|< ∀ε>0，
ε⇒|an|=|an−aN+1+aN+1|≤|an−aN+1|+|aN+1|<ε+|aN+1|。 于是{an}是有界数列。 设{an}⊂［a，b］，假设对任意的a0∈［a，b］，a0都不是
{an}的极限，则∃ε0>0，∀N∈N+，有| an－a0 |≥ε0，则在U（a0；
ε0⎞
）内，仅含{an}的有限项。 2⎠
ε⎞
令H＝{U（a0；0）| a0∈［a，b］}，则H是闭区间［a，
2⎠
b］的一个开覆盖。由有限覆盖定理知，其必存在有限子覆盖，
εεε
不妨设存在U（a1；1），U（a2；2），…，U（an；n）是它柯西准则证明极限lim存在
222n
ε⊃ε
U（ai；）［a，b］，而U（ai；i）（i 的一个子覆盖，即∪i=1
2
2
采用有限元法对偏压浅埋连拱隧道的施工过程进行了数值模拟分析，针对隧道开挖过程中的不同受荷情况，模拟左右隧道开挖的相互影响、中墙的受力特点、围岩和支护结构的相互协同性以及围岩位移、拱顶下沉、地表沉降的变化规律等，并与现场监测值进行对比，以验证实测和理论计算结果，指导复杂条件下连拱隧道的设计和施工。
1 工程概况
腰子坡隧道位于贵阳市花溪区猫洞乡大坡村，隧址区属丘峰洼地地貌单元，属剥蚀－构造类型之背斜脊状山峰。隧道进出口端山坡坡度30°左右，与地层倾向反向缓倾斜，隧道轴线与地层走向基本垂直，夹角70～80°之间。最大海拔高程1 180 m，进口端标高1 155 m，出口端标高1 150 m，相对高差介于30～25 m，隧道最大埋深28.00 m。植被较发育，以松杉为主。根据工程地质调绘及钻探结果，隧址区出露地层主要为二叠系上统
＝1，2，…，n）只含有限个点，从而它们的并也只含有限个点，从而得出［a，b］也只含有限个点，这与［a，b］是无限点集
an=a0。矛盾，从而假设不成立，即必存在a0∈［a，b］，使得lim n→∞参考文献：
［1］华东师范大学数学系编.数学分析（上册，第三版）［M］.
北京：高等教育出版社，2011.
［2］王美丽，李磊.实数完备性六个等价命题的推广［J］.南阳
师范学院学报，2009（12）.
［3］庄陵，唐贤伦等.实数完备性基本定理的循环证明［J］.重
庆工商大学学报，2006（3）. ［4］马爱江.单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明
［J］.新疆教育学院学报，2003（4）.
（编辑：尤俊丽）
The proof refrain from rash action standard of Cauchy
Gao Junfang, Zhao Linlong
Abstract: In the etc. price making use of real amount complete six basic axiomses, give is proven by five other axiomses Cauchy refrains from rash action the method of standard and well embodied real amount complete the basic axioms and Cauchy refrain from rash action the unity of standard.
Key words: Cauchy refrains from rash action standard; indeed boundary; gather a point; is monotonous to have boundary; limited overlay; zone set
－ 4 －
第二篇、07 第七节 极限存在准则 两个重要极限
柯西准则证明极限lim存在
第七节 极限存在准则 两个重要极限
分布图示
★ 夹逼准则
★ 例1 ★ 例4 ★ 例7 ★ 例9 ★ 例12
x
★ 单调有界准则
sinx
★ lim=1
x→0x
★ 例2 ★ 例5 ★ 例8 ★ 例10 ★ 例13 ★ 例17 ★ 例20
★ 例3 ★ 例6 ★ 例11 ★ 例14 ★ 例18
⎛1⎫
★ lim 1+⎪=e ★ 例15-16
x→∞
⎝x⎭
★ 内容小结 ★ 习题 1- 7 ★ 返回
★ 例19 ★ 课堂练习
内容要点
一、夹逼准则：如果数列xn,yn及zn满足下列条件:
（1）yn≤xn≤zn(n=1,2,3, ); （2）limyn=a,limzn=a,
n→∞
n→∞
那末数列xn的极限存在, 且limxn=a.
n→∞
注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求. 二、单调有界准则：单调有界数列必有极限. 三、两个重要极限
sinx⎛1⎫
1. lim=1； 2．lim 1+⎪=e.
x→∞⎝x→0xx⎭四、柯西极限存在准则
x
例题选讲
夹逼准则的应用
⎛111⎫ ⎪. 例1 (E01) 求 lim++ +
⎪222n→∞ n+2n+n⎭⎝n+1解
nn+n
2
<
1n+1
2
+ +
1n+n
2
<
nn+1
2
又lim
n→∞
nn+n
2
=lim
n→∞
11
+n
=1,lim
n→∞
nn+1
2
=lim
n→∞
11+2
n
=1,
由夹逼定理得
⎛1⎫11⎪=1. lim ++ +
⎪2n→∞ n2+2n2+n⎭⎝n+1
nn1/n
例2 求 lim(1+2+3).
n→∞
解
1
nnn
由(1+2+3)
⎡⎛2⎫⎛1⎫
=3⎢1+ ⎪+ ⎪⎥,易见对任意自然数n,有 ⎢⎣⎝3⎭⎝3⎭⎥⎦⎛2⎫⎛1⎫
1<1+ ⎪+ ⎪<3,
⎝3⎭⎝3⎭
n
n
n
1n⎤n
1
故3⋅1n
1⎡⎛2⎫⎛1⎫
<3⎢1+ ⎪+ ⎪⎥<3⋅3n. ⎢⎣⎝3⎭⎝3⎭⎥⎦
n
1
n⎤n
1
而lim3⋅1n
n→∞
=3,
1
lim3⋅3nn→∞
=3,所以
1
nnn2+3)
n→∞
lim(1+
⎡⎛2⎫⎛1⎫
=lim3⎢1+ ⎪+ ⎪⎥=3. n→∞⎢
⎣⎝3⎭⎝3⎭⎥⎦
n
1
n⎤n
n!. n→∞nn!1⋅2⋅3 n1⋅2⋅n⋅n nn!222
解 由n=<=2,易见0<n<2.又lim2=0.
n→∞nn⋅n⋅n nn⋅n⋅n nnnnn
n!
所以 li2=0.
n→∞n
例4 求 limnn.
例3(E02) 求 lim
n→∞
解 令nn=1+rn(rn≥0),则
n=(1+rn)n=1+nrn+由于lim
n→∞
2n(n-1)2n(n-1)2
. rn+ +rnn>rn(n>1),因此 , 0≤rn<
n-12!2!
2
=0,所以limrn=0.故limn=lim(1+rn)=1+limrn=1.
n→∞n→∞n→∞n→∞n-1
例5(E03) 求极限limcosx.
x→0
解 因为
xx2⎛x⎫
0<1-cosx=2sin<2⋅ ⎪<,
22⎝2⎭
故由准则I',得
lim(1-cosx)=0, 即 limcosx=1.
2
x→0
x→0
2
例6 求极限 limx⎢⎥.
x→0
⎣x⎦解 当x≠0时,
1⎡1⎤1⎡1⎤-1<⎢⎥≤，因此，当x>0时, 1-x<x⎢⎥≤1 x⎣x⎦x⎣x⎦
⎡1⎤
⎡1⎤⎡1⎤
x>0x=1,1-x>x由夹逼定理可得lim当时，有⎢⎥⎢x⎥≥1 x→0+⎣x⎦⎣⎦
⎡1⎤⎡1⎤x=1,limx由夹逼定理可得lim从而⎢⎥⎥=1. x→0⎢x→0-⎣x⎦x⎣⎦
例7 证明数列 xn=3+3++3(n重根式)的极限存在.
证 显然xn+1>xn,∴{xn}是单调递增的.下面利用数学归纳法证明{xn}有界. 因为x1=<3,假定xk<3,则xk+1=+xk<+3<3. 所以{xn}是有界的.从而limxn=A存在.
n→∞
222
由递推关系xn+1=3+xn,得xn+1=3+xn,故limxn+1=lim(3+xn),即A=3+A,
n→∞
n→∞
解得A=
1+1-1+,A=. (舍去). 所以limxn=
n→∞222
例8 设 a>0为常数, 数列xn由下列定义:
1⎛a⎫ ⎪x+(n=1,2, ) n-1 ⎪2⎝xn-1⎭
其中x0为大于零的常数, 求limxn.
xn=
n→∞
解 先证明数列xn的极限的存在性.
1⎛a⎫2222
⎪⇒2xnxn-1=xn由xn= 即x+(x-x)=x-ax≥a. +a,⇒n-1nn-1nn-1⎪2 xn-1⎭⎝
由a>0,x0>0,知xn>0,因此xn≥a,即xn有下界.又
xn+11⎛a⎫⎪=1+1a≤1,故数列xn单调递减，由极限存在准则知limxn存在.= 1+2⎪2n→∞xn2 ⎝xn⎭22xn
1⎛a⎫1⎛a⎫
⎪A=A+不妨设limxn=A,对式子xn= 两边取极限得:x+ ⎪. n-1⎪n→∞2A2 x⎝⎭n-1⎭⎝
解之得A=a,即limxn=a.
n→∞
例9(E04) 求 lim
tanx
.
x→0x
解 lim
tanxsinx1sinx1
=1. =lim⋅=lim⋅lim
x→0xx→0xx→0x→0cosxxcosx
例10 求 lim柯西准则证明极限lim存在
tan3x
.
x→0sin5x
sin3x
31tan3xsin3x1133
解 lim=li⋅=lim⋅=⨯⨯1=.
5x5co3x→0sin5xx→0sinsx155xco3sxx→0sin55x
例11(E05) 求 lim
1-cosx
. 2x→0x
2
xx⎫x⎛
sin⎪2sinsin2
⎪=1⋅12=1. =1lim=1lim 解 原式=lim
x→02x→0 ⎪2x→0⎛x⎫222x2
⎪ ⎪⎝2⎭⎝2⎭
2
例12 下列运算过程是否正确： lim
tanxtanxxtanxx
=lim.=limlim=1.
x→xsinxx→xxsinxx→xxx→xsinx
tanxx
→1,→1,本题x→π,所以不能应用上述xsinx
解 这种运算是错误的.当x→0时,
方法进行计算.正确的作法如下：
令x-π=t,则x=π+t;当x→π时, t→0,于是
tanxtan(π+t)tanttanttlim=lim=lim=lim⋅=-1. x→πsinxt→0sin(π+t)t→0-sintt→0t-sint
例13 计算 lim解 lim
例14 (E06) 求lim
cosx-cos3x
.
x→0x2
cosx-cos3x2sin2xsinx4sin2xsinx
=4. =lim=lim⋅22x→0x→0x→02xxxx
x-sin2x
.
x→0x+sin2x
sin2xsin2x1-1-2柯西准则证明极限lim存在
x-sin2x=li=1-2=-1. 解 li=lix→0x+sinsin2xx→0sin2x1+22xx→03
1+1+2
x2x
⎛1⎫
例15 (E07) 求 lim 1+⎪
n→∞⎝n⎭⎛1⎫
解 lim 1+⎪
n→∞⎝n⎭
n+3
n+3
. 1⎫⎛
⎪⋅ 1+n⎭⎝
n
⎡⎛=lim⎢ 1+n→∞⎢⎝
⎣
1⎫⎪n⎭
3⎤
⎛1⎫⎛1⎫
⎥=lim 1+⎪⋅ 1+⎪=e⋅1=e.
n→∞⎝n⎭⎝n⎭⎥⎦
n3
例16 (E08) 求 lim(1-2x)
x→0
1/x
.
-2
解
1
lim(1-2x)xx→0
1⎤⎡-
=lim⎢(1-2x)2x⎥x→0⎢⎥⎣⎦
=e-2.
⎛1⎫
例17 求 lim 1-⎪.
x→∞
⎝x⎭
-x⎡⎛1⎫⎤1⎫⎛1⎫⎛
解 lim 1-⎪=lim 1+⎪⎥⎪=lim⎢ 1+
x→∞⎢⎝x→∞⎝x→∞⎝-xx⎭-x⎭⎭⎥⎣⎦
x
xx
-1
11
=li=. -xx→∞e1⎫⎛
1+⎪
-x⎭⎝
⎛3+x⎫
例 18 (E09) 求 lim ⎪.
x→∞⎝2+x⎭⎛3+x⎫
解 lim ⎪柯西准则证明极限lim存在
x→∞⎝2+x⎭
2x
xx+2-2⎤⎡⎛⎡⎛1⎫⎤1⎫
=lim⎢ 1+⎥ ⎪⎥=lim⎢ 1+⎪x→∞⎢⎝x→∞x+2x+2⎭⎥⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎝⎦x+2-4⎡⎛1⎫⎤⎛1⎫2=lim⎢ 1+⎪⎥ 1+⎪=e. x→∞⎢⎝x+2⎭⎥x+2⎭⎣⎦⎝
22
2
2x
⎛x2⎫⎪. 例19 求 lim
x→∞ x2-1⎪⎝⎭
x
xx⎡⎛⎛x2⎫11⎫⎛⎫ ⎪=lim解 lim⎪ 1+2⎪=lim⎢ 1+2
x→∞ x2-1⎪x→∞x→∞⎝⎢x-1x-1⎝⎭⎭⎝⎭⎣
x
2
x
-1⎤x-1
⎥
⎥⎦
=e0=1.
x1/x
例20 计算 lim(e+x).
x→0
1
(ex+解 lim
x→0
1
x)x
=
1xx⎛lim(e) 1+x→0⎝
⎧
xx⎪⎡
=elim1+⎪⎨x⎥x→0⎢ex⎭⎪⎣e⎦
⎩
1⎫x
ex⎤x
⎫e⎪2⎬=e⋅e=e. ⎪⎭
课堂练习
1. 求极限 lim
tanx-sinx
. 2x→0xsinx
x
1
xx+9).
2. 求极限lim(3
x→+∞
柯西（Augustin Louis Cauchy，1789~1857）——业绩永存的数学大师
19世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支，内容丰富，应用非常广泛，与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微积分
第三篇、有关柯西准则的一些试题
柯西准则证明极限lim存在
第一节、数列的柯西收敛准则 与函数的一致连续性一、数列极限柯西准则 二、函数极限柯西准则 函数极限柯西准则 三 、函数的一致连续性 四、小结 五、作业lim xn = a ⇔n→∞当 n > N 时, 总有 定义只能用来验证 在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？ 1、夹逼准则 若数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件:n →∞ n →∞(1) yn ≤ xn ≤ zn ( n = 1, 2, 3 ) (2) lim yn = a , lim zn = a ,n →∞则数列x n 的极限存在,且 lim xn = a . 2、单调有界准则 单调有界数列必有极限.第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性一、数列的柯西收敛准则回顾:lim xn = an→∞2. Cauchy收敛准则： 定理 数列{an } 收敛的充要条件是： {an }是一个柯西数列.⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N+总有 xn − a < ε . , 当n > N时，1. 柯西(Cauchy)列： 如果数列 {an }具有以下特性：∀ε > 0, ∃N ∈ N +, ∀n, m > N , 有 an − am < ε ,数列{an } 收敛 ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N +, ∀m, n > N ,有 am − an < ε .则称数列 {an } 是一个基本数列或柯西( Cauchy)列.第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性3第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性4定理1（柯西收敛准则）数列{an } 收敛的充分必要条件是 对 ∀ε > 0, ∃N , 当 n, m > N 时, 有 an − am < ε . 证明 必要性 若 {an } 收敛于a, 设 lim an = a. n→∞ 当 n > N , m > N 时， 有•定理的几何解释柯西准则说明: 收敛数列各项的值越到后边, 彼此越是接近, 以至项数充分大的任何两项之差的绝对值可小则对 ∀ε > 0, ∃N ∈ N +,an − a < , 2故εam − a < , 2ε于预先给定的任意小正数, 或形象地说, 收敛数列的各项 越到后面越是挤在一起. x3 x1 x5 x2 x4柯西收敛准则表明，数列收敛等价于 数列中项数充分大an − a m= an−a +a− am≤ an − a + am − a < + =ε. 2 2充分性的证明从略.εε(即n充分大)的任意两项的距离能够任意小. 柯西收敛准则的优点在于 它不需要借助数列以外的任何数，只须根据 数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性.第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性5第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性61
例1 证明数列 柯西列： 对于数列 总存在正整数 则称 等价定义: 对于数列 总存在正整数 总有 如果对于任意给定的 使当 n，m > N 时, 总有 为柯西列。 如果对于任意给定的 则称 为柯西列。 证明 ： 收敛使当 n > N 时, 对任意的正数 p第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性当 n﹥N 时, 对任意 p ∈ Z + , 都有 由柯西收敛准则可知, 收敛例2 证明: 任一无限十进小数 α = 0. b1b2 " bn " (0 < α < 1) 的不足近似值所组成的数列 b b b b1 b1 b , + 2 , " , 1 + 22 +"+ nn , " 10 10 10 10 102 10 收敛. 其中 bi ( i = 1, 2, " , 9 ) 是 0, 1, " , 9 中的数. b b b 证明 令 an = 1 + 22 +"+ nn , 有 10 10 10 b +p b +1 b an+ p − an = nn + n+2 +"+ nn 10 +1 10n+2 10 + p 9 1 1 1 − (0.1) p ≤ n+1 1 + +" + p−1 = 9 n+1 ⋅ 10 10 10 1 − 0.1 10 1 1 1 = n (1 − (0.1) p ) < n < n . 10 10()第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性11例2 证明: 任一无限十进小数 α = 0. b1b2 " bn " (0 < α < 1) 的不足近似值所组成的数列 b b1 b1 b b b , + 2 , " , 1 + 22 +"+ nn , " 10 10 102 10 10 10 收敛. 其中 bi ( i = 1, 2, " , 9 ) 是 0, 1, " , 9 中的数. b b b 证 令 an = 1 + 22 +"+ nn , 有 10 10 10 a n+ p − a n < 1 . n ⎡1⎤ 故对任意ε > 0, 取 N = ⎢ ⎥ , 当n > N时, 对任意正 ⎣ε⎦ an+ p − an < ε. 整数p, 有 由柯西柯西收敛准则知:数列 {an }收敛.12⎧ n sin k ⎪ ⎫ { xn } = ⎪ 例3 利用柯西收敛准则证明: 数列 ⎨∑ k ⎬ ⎪ ⎪ 2 = 1 k ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 收敛. 对任意正整数 n , p , 有 证明 sin(n + 1) sin(n + 2) sin(n + p) x n+ p − x n = + +" + 2n+1 2n+2 2n+ p 1 1 1 1 1 1 1 ≤ n+1 + n+2 + "+ n = 1 + + 2 +"+ p−1 2 2 2 2 2 + p 2n+1 2 1 1 1 1 = n ⋅ 1− p < n < . n 2 2 2 ⎡ ⎤ 1 ε > 0 , 对任意 取 N = ⎢ ⎥ , 当n > N时, 对任意正整数 ⎣ε ⎦ p, 有 x n+ p − x n < ε . 故数列 { xn }收敛.()()第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性132
例4若 xn+1 − xn < cn , 且 sn = c1 + c2 +"+ cn ,而数列 { sn }收敛, 则数列 { xn } 也收敛. 证明 由已知数列 { sn } 收敛, 由柯西收敛准则得, 对 ∀ε > 0, ∃N ∈ N +, 当n > N 时, ∀p ∈ N +, 有 sn+ p−1 − sn−1 = cn + cn+1 +"+ cn+ p−1 < ε , 于是有 xn+ p − xn = xn+ p − xn+ p−1 + xn+ p−1 −"− xn+1 + xn+1 − xn≤ xn+1 − xn + xn+2 − xn+1 + "+ xn+ p − xn+ p−1定理1（柯西收敛准则）数列{an } 收敛的充分必要条件 对 ∀ε > 0, ∃N , 当 n, m > N 时, 有 an − am < ε .也可以给出数列发散的柯西准则:定理1′(柯西准则) 数列 {an } 发散的充分必要条件存在某ε0 > 0, 对任意正整数N, 都存在某正整数 m0 , n0 > N , 使得 an − am ≥ ε 0 .0 0< cn +cn+1 + " + cn+ p−1 < ε 故数列{ xn } 收敛.第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性14第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性151 1 例5 设 an = 1 + + " + , n = 1, 2, " , 利用柯西准则, n 2 证明: 数列{an}发散. 分析 不妨设n > m, 1 1 1 n−m 1 an − am = + + "+ > = = ε 0, m +1 m + 2 2 n n 取n = 2 m , 1 证明 取 ε 0 = , 对任意正整数N, 取正整数m0 > N, 2 n 0 = 2 m0 , 则 an0 − am0 > n0 − m0 = 1 = ε 0 , 2 n0 故数列{an}发散. 定理1′(柯西准则) 数列 {an } 发散的充分必要条件存二、函数极限的柯西准则lim xn = a ⇔ n→∞ xn = f ( n) lim f ( n) = a ⇔n→∞当 n，m > N 时, 总有 当 n , m > N 时, 总有当x1 , x2 > X 时，x →+∞lim f ( x ) = A ⇔总有x → x0lim f ( x ) = A ⇔总有 0 < x2 − x0 < δ 时，当0 < x1 − x0 < δ ,在某ε0 > 0, 对任意正整数N, 都存在某正整数 m0 , n0 > N , 使得 an0 − am0 ≥ ε 0 . 16 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性x → x0lim f ( x ) = A ⇔总有 0 < x2 − x0 < δ 时，当0 < x1 − x0 < δ ,例6.用柯西收敛准则证明: 当x→+∞时, 证明 ： ∵sin x1 sin x2 1 1 − ≤ + x1 x2 x1 x2sin x 存在极限 xx → x0lim f ( x )不存在 ⇔尽管0 < x1 − x0 < δ , 但是 0 < x 2 − x0 < δ ，总存在x1 , x2 ,2 2 对ε > 0，取X= , 则当x1 ,x2 > 时，εεε ε sin x1 sin x2 1 1 < + =ε − ≤ + 2 2 x1 x2 x1 x2故sin x 存在极限 x第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性3
例7.证明: 当x→+∞时, sin x 极限不存在 证明 ：取x1 = 2nπ , x2 = 2nπ +三 、函数的一致连续性1. 一致连续概念的引入按照定义，也就是 设f (x)在某一区间Ｉ上连续， f (x)在区间Ｉ内每一点都连续. 即对任意固定的点 x0 ∈ I , 对 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 x ∈ U ( x0 , δ) 时, 有, 2 对∀X > 0, n足够大时 x1 > X , x2 > X ,π| f ( x) − f ( x0 )|< ε.在上述定义中, δ = δ(ε, x0 ).但是 故 sin x 极限不存在第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性22如图, 当ε给定后, 在点x0附近, 函数图象变化比较 “慢”, 对应的δ较大; 在点x1附近, 函数图象变化比较设函数f (x)在区间I上连续, 当给定ε后, 相应于无穷多个x0, 有无穷多个 δ( x0 ) > 0, 在这无穷多个 δ( x0 ) 中是否存在一个公共的δ > 0 , 使得对任意的x0, x ∈ I , 呢? 只要| x − x0 |< δ, 就有| f ( x) − f ( x0 )|< ε“快”, 对应的δ较小. y2ε{ f ( x1)2ε { f ( x0 )y = f ( x)δ( x0 )Oδ( x1)x023x1x第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性24第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性2．一致连续的定义定义 设f (x)为定义在区间Ｉ上的函数, 若对任给的ε > 0, 存在一个 δ = δ(ε) > 0, 使得对任何 x1, x2 ∈ I , 只要 | x1 − x2 |< δ, 就有一致连续的否定就是 非一致连续. 两者对比如下： 函数f (x)在区间I上 一致连续∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x1, x2 ∈ I , 当 | x1 − x2 |< δ 时, 有f ( x1 )− f ( x2 ) < ε,则称函数f (x)在区间Ｉ上 上一致连续 致连续. 在一致连续定义中,f ( x1 )− f ( x2 ) < ε,δ = δ(ε) 与 x1, x2 ∈ I 无关.由一致连续定义 可知: 函数f (x)在区间Ｉ上一致连续 函数f (x)在区间Ｉ上连续第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性25非一致连续∃ε 0 > 0, ∀δ > 0, ∃x1, x2 ∈ I , 尽管 | x1 − x2 |< δ, 但有f ( x1 )− f ( x2 ) ≥ ε 0 .第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性264
1 一致连续: 例8 证明: 函数 f ( x) = x ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x1, x2 ∈ I , (1) 在[a, 1](0 < a < 1)上一致连续; 当 | x1 − x2 |< δ 时, 有 (2) 在(0, 1]上非一致连续. f ( x1 )− f ( x2 ) < ε,证明(1) 对 ∀ε > 0, ∀x1, x2 ∈ [a, 1], 要使x − x2 1 1 1 ≤ 2 x1 − x2 < ε, − = 1 x1 x2 x1 x2 a 只要 x1 − x2 < a 2ε, 取 δ = a 2ε, 于是 对∀ε > 0, 取 δ = a 2ε, ∀x1, x2 ∈ [a, 1], 当 x1 − x2 < δ 时, 有 1 1 − < ε, x1 x2 1 故函数 f ( x) = 在区间[a, 1] 上一致连续. x第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性271 非一致连续: 例8 证明: 函数 f ( x) = x ∃ε 0 > 0, ∀δ > 0, ∃x1, x2 ∈ I , (1) 在[a, 1](0< a < 1)上一致连续; 尽管 | x1 − x2 |< δ, 但有 (2) 在(0, 1]上非一致连续. f ( x1 )− f ( x2 ) ≥ ε 0 . (2) ∃ε 0 = 1 > 0, 对 ∀δ > 0, 取 n > 1 , 2 δ 1 1 ∃x1 = , x2 = ∈ (0, 1], n +1 n 1 1 1 1 1 当 x1 − x2 = − n > 时, = n n + 1 n(n + 1) < n < δ δ 1 1 有 − = n − (n + 1) = 1 > 1 = ε 0 , x1 x2 2 1 故函数 f ( x) = 在(0, 1]上非一致连续. x 1 但函数 f ( x) = 在(0, 1]上连续. x()第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性28观察函数 y =100 80 60 40 201 在(0, 1]上的图象. x定理(Cantor定理或一致连续性定理) 若f (x)在闭区间[a, b]上连续, 则f (x)在[a, b]上 一致连续.y=1 x何时一致连续？ 提示: 设0.2 0.4 0.6 0.8 1εε存在,作辅助函数 显然δ δ δ δ 本例说明: 函数f (x)在区间Ｉ上连续函数f (x)在区间Ｉ上一致连续第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性29第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性30存在正数X > a, 使得对 ∀x1, x2 ∈ ( X , +∞), 都有 f ( x1) − f ( x2 ) < ε. 由一致连续性 致连续性 因为函数f (x)在闭区间[a, X+1]上连续, 由 定理, 对上述ε, 存在正数δ (< 1), 对 ∀x1, x2 ∈[a, X + 1], | x1 − x2 |< δ, 都有 f ( x1) − f ( x2 ) < ε. 于是, 对上述 ε > 0, 存在δ > 0, 对∀x1, x2 ∈[a, +∞), | x1 − x2 |< δ, 都有 f ( x1) − f ( x2 ) < ε. 故函数f (x)在 [a, +∞) 上一致连续.第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性31f ( x) 例9 设函数f (x)在区间[a, +∞) 上连续, 且 xlim →+∞ 存在. 证明: 函数f (x)在 [a, +∞) 上一致连续. 分析 从已知条件 xlim f ( x) 出发, 利用极限定义来证明. →+∞ lim f ( x ) 由 存在及柯西准则, 对 ∀ε > 0, 证明 x →+∞四、小 结1. Cauchy收敛准则定理 数列 {an } 收敛 ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N +,∀m, n > N , ⇒ am − an < ε .2．一致连续性 设函数f (x)定义在区间I上, 若对 ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x1, x2 ∈ I , 当 | x1 − x2 |< δ 时, 有f ( x1 )− f ( x2 ) < ε, 则称函数f (x) 在区间I上一致连续.第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性325
第四篇、柯西收敛准则
柯西准则证明极限lim存在
教学内容
柯西收敛准则
教学目的: 1. 理解柯西收敛准则;
2. 理解柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想; 3. 掌握柯西收敛准则的应用. 教学重点: 对柯西收敛准则的理解及其应用. 教学难点: 柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想. 教学方法: 探究式教学与启发式教学相结合. 教学时间: 45分钟.
引入
数列的柯西收敛准则: 数列{an}收敛⇔∀ε>0,∃N∈N+,∀n,m>N, 有an−am<ε.
提问(探究问题起源)
考虑到数列是一类特殊的函数，即定义在正整数集N+上的函数, 那么函数极限的收敛性是否也有类似的判定准则呢？
猜想结论(探究结论)
设问一 怎么叙述“极限limf(x)存在(或收敛)”类似的判定准则?
x→+∞
(备注：其实质是将一个离散的结论，即数列的柯西收敛准则推广的连续的情形，见上图)
写出设问一对应的判定准则
极限limf(x)存在⇔∀ε>0,∃A>0,∀x',x">A, 有f(x')−f(x")<ε.
x→+∞
设问二 怎么叙述“极限limf(x)存在(或收敛)”类似的判定准则?
x→a
(备注：其实质是如何用数学语言来描述“x无限趋近于a”和“x无限增大”)
写出设问二对应的判定准则
定理9. (柯西收敛准则) 极限limf(x)存在⇔
x→a
∀ε>0,∃δ>0,∀x',x":0<x'−a<δ与0<x"−a<δ, 有f(x')−f(x")<ε.
(至此写出今天所讲的内容的题目)
柯西收敛准则的内涵
(1) 柯西收敛准则从理论上解决了函数极限的存在性问题(充分必要条件); (2) 柯西收敛准则把ε−δ定义中x与a的之差换成x'与x"之差. 其好处在于无需借助函数以外的数b，只要根据函数本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性; (注意与函数极限ε−δ定义的比较)
limf(x)=b⇔∀ε>0,∃δ>0,∀x:0<x−a<δ, 有f(x)−b<ε.
x→a
(3) 柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：极限存在的函数的变量愈接近a，函数值彼此愈接近，以至于变量充分接近于a的任何两个函数值之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.
论证(探究证明方法)
必要性(⇒) 证明方法与数列情况完全类似. 充分性(⇐)
由于数列的柯西收敛准则的充分性的证明要到第四章才证明, 因此这里没有可类比参考的证明方那我们怎么来证明这个问题? (探究证明方法的根源所在)
分析柯西条件与函数极限定义的区别, 即
limf(x)=b⇔∀ε>0,∃δ>0,∀x:0<x−a<δ, 有f(x)−b<ε.
x→a
结合复习
海涅定理 limf(x)=b
x→a
⇔{an}, an≠a, 且liman=a, 有limf(an)=b.
n→∞n→∞
启发学生通过一个数列来找极限值b?
首先考虑取某个数列{an}(非任意数列), an≠a, 且liman=a, 则
n→∞
数列{f(an)}是否收敛?
在不知道数列{f(an)}判断一个数列是否收敛的方法之一——数列的柯西收敛准则(充要条件).
利用柯西收敛准则证明数列{f(an)}收敛.
通过数列找到极限值b之后, 启发学生又如何完成证明.
设limf(an)=b, 若能证明limf(x)=b即可, 即只需证明
n→∞
x→a
∀ε>0,∃δ>0,∀x:0<x−a<δ
, 有f(x)−b<ε.
怎么找正数δ?
由于liman=a, 因此an可以充分靠近a, 见下图
n→∞
a−δ an a x a+δ 由条件可知∃δ>0,∀x',x":0<x'−a<δ与0<x"−a<δ, 有f(x')−f(x")<ε. 故可考虑将f(x)−b分为两部分, 即
① f(x)−f(an) ② f(an)−b
继续探究证明
第①部分利用已知条件, ∃δ>0, 只要0<x−a<δ, 且0<an−a<δ, 就有 f(x)−f(an)<ε.
第②部分利用limf(an)=b, ∃N∈N+, 只要n>N, 就有
n→∞
f(an)−b<ε. 若上面两个不等式同时成立, 则有 f(x)−b<2ε
(至此给出详细证明过程)
其余情形的柯西收敛准则
x→a+
limf(x),lim−f(x),limf(x),limf(x)情况的柯西收敛准则, 并给出其余五种情形的证
x→a
x→−∞
x→∞
明. 对照黑板的证明过程略讲x→+∞情形的证明.
柯西收敛准则的应用(探究应用)
(一方面是利用定理判定函数极限存在)
例1. 用柯西收敛准则证明: 当x→+∞时, 函数
sinx
存在极限. x
(另一方面是利用定理判定函数极限不存在: 由于柯西收敛准则是充分必要条件, 因此它的逆否命
题可用来判定函数极限是否是不存在)
推论 ∃ε0>0,∀δ>0,∀x0,y0:0<x0−a<δ, 0<y0−a<δ有f(x)−f(y)>ε0
限limf(x)不存在.
x→a
⇔极
例2. 证明: 当x→0时, 函数sin
1
不存在极限. x
第五篇、柯西收敛准则的3种不同证法
柯西准则证明极限lim存在
柯西收敛准则的不同证法
方法一:用定理2证明柯西收敛准则
证明：必要性:易知，当{ an }有极限时(设极限为a)，{ an }一定是一个柯西数列。因为对任意的ε>0，总存在N(N为正整数)。使得当n ，m>N时，有| an -a|< ε， | am -a|<ε
∴| an - am |≤| an -a|+| am -a|<ε ，即{ an }是一个柯西数列。 充分性:先证明柯西数列{ an }是有界的。不妨取ε=1，因{ an }是柯西数列，所以存在某个正整数N0，当n > N0 时有| an –aNo+1 |<1，亦即当n ，N> N0 时| an |≤| aNo+1 |+1即{ an }有界。不妨设{ an }⊂[a ，b]，即a≤an≤b，我们可用如下方法取得{ an }的一个单调子列{ ank }：
(1)取{ ank }⊂{ an }使[a，ank ]或[ank ，b]中含有无穷多的{ an }的项； (2)在[a，ank ]或[ank，b]中取得ank+1∈{ an }且满足条件(1)并使nk+1>nk； (3)取项时方向一致，即要么由a→b要么由b→a。
由数列{ an }的性质可知以下三点可以做到，这样取出一个数列{ ank }⊂{ an }且{ ank }是一个单调有界数列，必有极限设为a，下面我们证明{ an}收敛于a。
ε
。另一方面由于
n→∞2
ε
{ ank }是柯西数列，所以存在正整数N，使得当n ，m>N时有| an – am |<，
2因为limank =a,则对ε>0， 正整数K，当k >K时| ank -a|<
取n0=max(k+1，N+1)，有n0≥nN+1>N以及 > k+1 >k。所以当n >N时| an -a|≤| an – am |+| am -a|<ε 。
∴{ an }收敛于a。
方法二:用定理3证明柯西收敛准证
证明：必要性显然。下证充分性。
设{ xn }是柯西数列，即对任意的ε>0，存在N >0，使得当n ， m > N时，有| xn – xm | <ε (1)
令yn =sup{ xn+p | p =1，2，…}
zn =inf { xn+p | p =1，2，…}
显然，yn是单调递减数列，zn是单调递增数列。取M =max{ x1，x2 ，… ，
xN, xN +1}。由(1)，不难知xn≤M， n =1，2，…。于是，yn和zn都是有界数列。根据单调有界原理，yn和zn都是收敛数列。不妨设
yn→a zn →b n→∞ (2) 由yn和zn的构造以及(1)，我们有
zn≤xn≤yn n =1，2，… (3) yn-zn <ε n > N (4)
于是由(4)，有a-b≤ε，而ε是任意正数，因此a = b (5)
最后，根据(2)，(3)和(5)，我们有xn→a (n→∞)。 这就完成了证明。
方法三:用定理4证明柯西收敛准则
证明：必要性是显然的。
下面只证充分性。根据条件，对ε=1，存在n0，当n ，m> n0时，有| xn – xm | <1。于是| xn |≤| xn – xn0+1 |+| xn0+1 |<1+| xn0+1|。令M=max{| x1|，x2,…，| xn0 |，1+| xn0+1|}，则| xn|≤M(n=1，2，…)，故{ xn }有界。因此存在收敛子列{ xnk }，设limxnk =C，于是由下列不等式| xn -C|≤| xn - xnk |+| xnk -C|可
n→∞
知limxn =C。
n→∞
第六篇、柯西准则
柯西准则证明极限lim存在
1 第一节、数列的柯西收敛准则与函数的一致连续性一、数列极限柯西准则二、函数极限柯西准则三、函数的一致连续性四、小结五、作业当n > N 时, 总有lim n n x a →∞ = . 定义只能用来验证在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？ 1、夹逼准则若数列x y 及z 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性, n n n 满足下列条件: (1) ( 1,2,3 ) n n n y ≤ x ≤ z n = .. 则数列n x 的极限存在, lim . n n x a →∞ = (2) lim , lim , n n n n y a z a →∞ →∞ = = 且单调有界数列必有极限. 2、单调有界准则回顾: lim n n x a →∞ = ..ε > 0, .N ∈ N+ , 当n > N时，总有. n x . a <ε 1. 柯西(Cauchy)列： 如果数列{ } 具有以下特性： n a 一、数列的柯西收敛准则第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性3 则称数列是一个基本数列或柯西( Cauchy)列. ε 0, N N , n,m N, . > . ∈ + . > , n m 有a .a <ε { } n a 2. Cauchy收敛准则： 定理数列收敛的充要条件是： 是一个柯西数列. 数列收敛{ } n a { } n a { } n a ε 0, N N , . . > . ∈ + .m, n>N, . m n 有a .a <ε 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性4 定理1（柯西收敛准则）数列{ } n a 收敛的充分必要条件是对.ε >0,.N, 当n,m>N时, 有. n m a .a <ε 证明必要性若{ } n a 收敛于a, 设lim . n n a a →∞ = 则对.ε >0, .N ∈N+, 当n>N, 时，有, n a a ε2. , m a a ε2. m>N 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性5 2 < 2 < n m a .a 2 2 <ε +ε =ε . 故n m = a .a n m .a +a ≤ a .a + a .a 充分性的证明从略. .定理的几何解释柯西准则说明: x1 x2 x5 x4 x3 越到后面越是挤在一起. 于预先给定的任意小正数, 或形象地说, 收敛数列的各项越是接近, 收敛数列各项的值越到后边, 彼此以至项数充分大的任何两项之差的绝对值可小第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性6 柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中项数充分大(即n充分大)的任意两项的距离能够任意小. 柯西收敛准则的优点在于只须根据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性. 它不需要借助数列以外的任何数， 2 柯西列：对于数列使当n，m > N 时, 总有如果对于任意给定的总存在正整数则称为柯西列。等价定义: 对于数列如果对于任意给定的第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性使当n > N 时, 总有总存在正整数则称为柯西列。对任意的正数p 例1 证明数列收敛证明： 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性当n﹥N时,对任意p∈Z + , 都有由柯西收敛准则可知, 收敛第一节
、数列的柯西准则与函数的一致连续性例2 证明: 任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列收敛. 其中是中的数. 证明令有1 2 0. (0 1) n α = b b ..b .. <α < 1 , 10 b ( 1,2, , 9 ) i b i= .. 0,1,..,9 1 22 , 10 10 10nn b b b n + +..+ a = 1 22 10 10 , b b + 1 22 , 10 10 10 , nn .. b + b +..+ b .. 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性11 n p n a a + . ( ) 1 1 9 1 1 1 10n+ 10 10p. ≤ + +..+ 1 2 10 1 10 2 10n n n p n n n p b b b + + + + + + = + +..+ 1 9 10n+ = 1 01 1 01 ( . ) . . p . . 1 (1 0 1 ) 10 ( . )p n = . n 1 10 < . n 1 < 例2 证明: 任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列收敛. 其中是中的数. 证令有1 2 0. (0 1) n α = b b ..b .. <α < 1 1 2 1 2 2 2 10 , 10 , , 10 , 10 10 10nn b b b b b b + .. + +..+ .. ( 1,2, , 9 ) i b i= .. 0,1,..,9 1 22 , 10 10 10nn b b b n + +..+ a = 1 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性12 n p n a a + . <n1 . 故对任意ε > 0, 取N =..1.. , . ε . 当n > N时, 对任意正整数p, 有 . n p n a a + . <ε 数列{ } n 由柯西柯西收敛准则知: a 收敛. 例3 利用柯西收敛准则证明: 数列{ } 1 2 n sin n k k x k = ... ... =. . ... ... Σ 收敛. 证明对任意正整数n, p, 有n p n x x + . 1 2 1 2 2 2 2 sin( ) sin( ) sin( ) n n n p n n n p + + + = + + + +..+ + 1 1 2n+ ≤ ( ) 1 2 1 1 1 1 1 1 2n+ 2 2 2p. 2 = + + +..+ 1 2n+ + 1 2n+p +..+ 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性13 1 (1 1 ) 2n 2p = . . 1 2n < ε >0, N ε1 , =.. .. . .1 . <n 对任意取当n > N时, 对任意正整数p, 有 . n p n x x ε + . < 故数列{ } n x 收敛. 3 例4 若xn+1.xn <cn, 且sn=c1+c2+..+cn, 而数列{ } n s 收敛, 则数列{ } n x 也收敛. 证明x x x x n n 1 n p 1 c c c + + . + +..+ n p 1 n 1 s s + . . . = <ε , 由已知数列{ } n s 收敛, 由柯西收敛准则得, 对.ε >0, .N ∈N+, 当n>N时, .p∈N+, 于是有+ x x + x x 有第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性14 n p n + . n p n p 1 + + . = . n 1 n n 2 n 1 n p n p 1 x x x x x x + + + + + . ≤ . + . +..+ . n <c <ε 故数列{ } n x 收敛. n p 1 n 1 + . + .... n 1 n + . n 1 c + + n p 1 c + . +..+ 定理1（柯西收敛准则）数列{ } n a 收敛的充分必要条件对.ε >0,.N, 当n,m>N时, 有. n m a .a <ε 定理1′(柯西准则) 数列{ } n a 发散的充分必要条件存在某ε0> 0, 都存在某正整数也可以给出数列发散的柯西准则: 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性15 对任意正整数N, 0 0 m , n > N, 使得. n m a a ε 0 0 0 . ≥ 例5 设n 1 12 1 , 1, 2, , 利用柯西准则, a = + +..+ n n = .. 证明: 数列{an}发散. 分析n m a .a不妨设n > m, 1 = m+1 1
+ m+ 2 1n+..+ n m n> . 取n = 2m, 1= 2 0=ε , 证明取0 1 , ε = 2 对任意正整数N, 取正整数m0 > N, 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性16 n0 = 2m0 , 则n0 m0 a .a 0 0 0 n m n> . 1= 2 0=ε , 故数列{an}发散. 定理1′(柯西准则) 数列{ } n a 发散的充分必要条件存在某ε0> 0, 对任意正整数N, 都存在某正整数0 0 m , n > N, 使得. n m a a ε 0 0 0 . ≥ 当n，m > N 时, 总有lim n n x a →∞ = . lim ( ) n f n a →∞ = . ( ) nx = f n 当n , m > N 时, 总有二、函数极限的柯西准则第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性lim ( ) x f x A →+∞ = . 总有1 2 当x , x > X时， 0 lim ( ) x x f x A → = . 总有1 0 当0 < x . x <δ , 2 0 0 < x . x <δ时， 0 lim ( ) x x f x A → = . 总有1 0 当0 < x . x <δ , 2 0 0 < x . x <δ时， 0 < x . x <δ 0 lim ( ) x x f x → 不存在. 1 2 总存在x , x , 尽管第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性1 0 但是, 2 0 0 < x . x <δ， 例6.用柯西收敛准则证明: 当x→+∞时, sin x x 存在极限1 2 1 2 1 2 sin x sin x 1 1 x x x x 证明：∵ . ≤ + ε 0 X= 2 , ε 对> ，取1 2 x ,x 2 ε 则当> 时， 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性1 2 1 2 1 2 sin x sin x 1 1 x x x x . ≤ + 2 2 < ε + ε =ε sin x x 故存在极限 4 例7.证明: 当x→+∞时, sin x 极限不存在证明： 1 2 2 , 2 , 2 取x = nπ x = nπ + π 对.X > 0, n足够大时1 2 x > X, x > X, 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性但是故sin x 极限不存在设f (x)在某一区间Ｉ上连续， f (x)在区间Ｉ内每一点都连续. 有即对任意固定的点按照定义，也就是0 , x I ∈ 0, ε . > 对( , ) x U x0当∈ δ | f (x). f (x )|<ε. 1. 一致连续概念的引入.δ>0, 三、函数的一致连续性时, 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性22 0 x) 0 在上述定义中, δ=δ(ε, x ). { 如图, 当ε给定后, 在点x0附近, 函数图象变化比较“慢”,对应的δ较大; 在点x1附近, 函数图象变化比较“快”,对应的δ较小. y= f (x) 1 2ε f (x ) y 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性23 { 1 x 0 x 1 δ(x ) 0 δ(x ) 0 2ε f (x ) O x 设函数f (x)在区间I上连续, 当给定ε后, 相应于无穷多个x0, 有无穷多个0 δ(x )>0, 在这无穷多个0 δ(x ) 中是否存在一个公共的δ > 0 , 使得对任意的x0, x ∈I, 只要0 | x.x |<δ, 就有0 | f (x). f (x )|<ε 呢? 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性24 2．一致连续的定义定义设f (x)为定义在区间Ｉ上的函数, 存在一个使得对任何只要就有则称函数f (x)在区间Ｉ上一
致连续若对任给的ε>0, δ=δ(ε)>0, 1 2 x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ, ( ) ( ) 1 2 f x . f x <ε, 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性25 . 在一致连续定义中, δ=δ(ε) 与1 2 x , x ∈I无关. 由一致连续定义可知: 函数f (x)在区间Ｉ上一致连续函数f (x)在区间Ｉ上连续一致连续的否定就是非一致连续. 两者对比如下： 函数f (x)在区间I上一致连续.ε>0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ ( ) ( ) 1 2 f x . f x <ε, 当时, 有第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性26 非一致连续0 .ε >0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ, ( ) ( ) 1 2 0f x . f x ≥ε . 尽管但有 5 例8 证明: 函数f (x)= 1x (2) 在(0, 1]上非一致连续. 证明(1) 对.ε>0, 1 2 .x , x ∈[a,1], 要使1 1 x . x <ε, 1 2 x x x x = . 2 1 2 1 x x a ≤ . .ε>0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ ( ) ( ) 1 2 f x . f x <ε, 当时, 有一致连续: (1) 在[a, 1](0 < a < 1)上一致连续; 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性27 1 2 1 2 只要2 1 2 x .x <a ε, 取δ=a2ε, 于是对.ε>0,取δ=a2ε, 1 2 x .x <δ 1 2 .x , x ∈[a,1], 当时, 有1 2 1 1 , x . x <ε 故函数f (x)= 1x 在区间[a, 1] 上一致连续. 例8 证明: 函数(1) 在[a, 1](0< a < 1)上一致连续; (2) 在(0, 1]上非一致连续. (2) 1 .x = n1 ∈(0,1], 当= 1 1 1 < 1 δ (1) 时对.δ>0, 0 1 0 2 .ε = > , 2 1 1 , x = n+ f (x)= 1x 非一致连续: 0 .ε >0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ, ( ) ( ) 1 2 0f x . f x ≥ε . 尽管但有n> 1 , δ 取第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性28 1 2 x .x n n 1 . + = n(n 1) + n <n> ) δ , 有1 2 1 1 x . x = n. 0 12> =ε , 故函数f (x)= 1x在(0, 1]上非一致连续. 但函数f (x)= 1x 在(0, 1]上连续. (n+1) =1 40 60 80 100 y = 1x 观察函数y = 1x 在(0, 1]上的图象. ε 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性29 0.2 0.4 0.6 0.8 1 20 δ δ ε δ δ 本例说明: 函数f (x)在区间Ｉ上连续函数f (x)在区间Ｉ上一致连续定理(Cantor定理或一致连续性定理) 若f (x)在闭区间[a, b]上连续, 则f (x)在[a, b]上一致连续. 何时一致连续？ 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性30 提示: 设存在,作辅助函数显然例9 设函数f (x)在区间[a, +∞) 上连续, 且lim ( ) x f x →+∞ 存在. 证明: 函数f (x)在[a, +∞)上一致连续. 分析从已知条件lim ( ) x f x →+∞ 出发,利用极限定义来证明. 证明由lim ( ) x f x →+∞ 存在及柯西准则, 对.ε > 0, 存在正数X > a, 使得对1 2 .x , x ∈(X, +∞), 都有1 2 f (x ). f (x ) < ε. 因为函数f (x)在闭区间[a, X+1]上连续, 由一致连续性第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性31 定理,
对上述ε, 存在正数δ (< 1), 对1 2 .x , x ∈[a, X +1], 都有1 2 f (x ). f (x ) < ε. 于是, 对上述ε > 0, 存在δ > 0, 对1 2 .x , x ∈[a, +∞), 都有1 2 f (x ). f (x ) < ε. 故函数f (x)在[a, +∞)上一致连续. 1 2 | x . x |< δ, 1 2 | x . x |< δ, 四、小结1. Cauchy收敛准则定理数列{ }收敛n a ε 0, N N , . . > . ∈ + .m, n>N, . m n . a .a <ε 2．一致连续性设函数f (x)定义在区间I上若对第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性32 .ε>0, .δ>0, 1 2 .x , x ∈I, 1 2 | x .x |<δ ( ) ( ) 1 2 f x . f x <ε, 当时, 有, 则称函数f (x) 在区间I上一致连续. 定理(Cantor定理或一致连续性定理) 若f (x)在闭区间[a, b]上连续, 则f (x)在[a, b]上 一致连续. 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性33第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性33作业1.设利用柯西准则, 证明: 数列{an}收敛. 2.设利用柯西准则,sin , 1, 2, ,2n na nπ = = ..证明数列发散第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性34 3.证明: 函数f (x) = x2在区间[a, b]上一致连续, 但在( ,).∞ +∞上不一致连续.证明: 数列{an}发散.
第七篇、清华大学微积分(数列极限的运算、存在性判断、柯西准则)题目
柯西准则证明极限lim存在
微积分B(1)第二次习题课题目
一、数列极限的四则运算法则与数列极限存在的充分条件（单调有界定理，夹逼准则）
1．求极限
lim(a+a+⋯+a，其中a1+a2+⋯+am=0．
n→∞
n+1n+1
F ，求limn； 2．（1
）已知数列Fn=− n→∞F n+1
（2
）己知(2n=An+B， 求lim
An
． n→∞Bn
3．求极限
（1）lim
1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n−1)
；
n→∞2⋅4⋅6⋅⋯⋅(2n)
11
m mnn n−n
（2）lim ∑ak + ∑ak ，其中ak>0(k=1,2,⋯,m)；
n→∞ k=1 k=1
(n+1)2
（3
）lim
n→∞
k=n
∑
2
(4) lim∑[(n+1)
k
n→∞
k=1
n
−
1
k
+(n−1)]．
k
−
1k
4．设x1=lna(a>0)，xn+1=xn+ln(a−xn)，证明数列{xn}收敛，并求极限limxn的值．
n→∞
5．设x1>x2>
0，xn+2=limxn存在，并求其值．
n→∞
n
11
6．★设a1=1，ak=k(ak−1+1)，k=2,3,⋯．已知lim∑=e，求极限lim∏(1+．
n→∞n→∞akk=0k!k=1
n
二、极限的存在性证明
1．已知当liman=0．
n→∞
（1）证明：lim
a1+a2+⋯+an
=0．
n→∞n
n→∞
（2）当liman=A，limbn=B时，证明：lim
n→∞
a1bn+a2bn−1+⋯+anb1
=AB．
n→∞na1+2a2+⋯+nan
=0．
n→∞n
2．设极限lim(a1+a2+⋯+an)=a存在，证明lim
n→∞
3．设θ≠kπ，证明数列{sinnθ}发散．
三、实数理论（柯西收敛准则，Bolzano定理，区间套，有限覆盖）
1．设an=
pp1p2
+2+⋯+nn(n=1,2,⋯)，其中{pk}是一有界非负数列，试证数列{an}收敛． 101010
2．若数列{an}满足 an+1−an≤qan−an−1(n=1,2,⋯)，其中0<q<1，试证数列{an}收敛．
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3．下列哪些命题与柯西准则等价，证明你的结论或举出反例．
（1）对于任意的p∈ℕ*，均有lim(an+p−an)=0．
n→∞
（2）∀ε>0， ∃N∈ℕ*，只要n>N，就有|an−aN|<ε．
（3）∀ε>0， ∃Nε∈ℕ*以及Aε∈ℝ，只要n>Nε，就有|an−Aε|<ε．
4．证明：有界数列{an}若不收敛，则必存在两个子列{ank}，{amk}，使得limank=a,limamk=b
k→∞
k→∞
且a≠b．
5．（1）利用Cauchy收敛准则证明单调有界数列收敛；
（2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛．
四、书后与课堂部分题目
1．求下列极限（书后习题）
（1
）limn→∞
sin2(；
（2
）limn→∞
sin2(．2．设u1
+1n=(1+n
)n（易知数列{un}收敛于e）．（讲课提纲材料）
（1）研究数列{un}的单调性； （2）利用（1）的结果证明1n+1<ln(1+11
n)<n
对于任意正整数n都成立；（3）证明：数列a1n=1+
2+13+⋯+1
n
−lnn收敛． 3．设数列{an}和{bn}有界，证明：存在正整数列{nk}，满足nk+1>nk，使得存在．（书后习题，课上例题）
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klim→∞
ank,klim→∞
bnk均
第八篇、柯西收敛准则
柯西准则证明极限lim存在